Trygonometria tomek: Jak udowodnić, że liczba ctg 1 (stopień) jest niewymierna?

wredulus_pospolitus: a z czego możesz skorzystać

tomek: ze wszystkiego, są koronawakacje więc najwyżej poczytam sporo, tak żeby zrozumieć o co chodzi. Zależy mi na tym, żeby rozwiązanie było "ładne"

tomek: Ktoś ma jakiś pomsył?

PW: To proste − metodą nie wprost. Wzór na tangens sumy jest wyrażeniem wymiernym. Oznacza to, że tg(α+β) jest liczbą wymierną jeżeli tgα i tygβ są wymierne Dodając tak 29 razy, tg(α+α), tg(2α+α),...tg(29α+α) doszlibyśmy do wniosku, że z wymierności tg1° wynika wymierność tg30°, co nie jest prawdą.

tomek: Okej, sformułowałem to tak: " Załóżmy, nie wprost, że cot(1^o) jest liczbą wymierną. Wzór na cotangens sumy jest wyrażeniem wymiernym. Oznacza to, że ctg(α+β) jest liczbą wymierną jeżeli ctgα i ctygβ są wymierne. Stąd, jeśli cot(1^o) ∊ Q, to cot cot(1^o+1^o) = cot(2^o)∊Q analogicznie, jeśli cot(2^o)∊Q to cot(1^o+2^o)=cot(3^o) ∊ Q jeśli cot(3^o)∊Q to cot(1^o+3^o)=cot(4^o) ∊ Q . . . jeśli cot(29^o)∊Q to cot(1^o+29^o)=cot(30^o) ∊ Q, co jest oczywistą sprzecznością, gdyż jak powszechnie wiadomo cot (30^o) = √3 nie jest liczbą wymierną. Stąd wnioskuje, że cot(1^o) również nie może być liczbą wymierną, co należało wykazać " Może być?

PW: Oprócz tego, że raz piszesz "cot", a innym razem "ctg".

tomek: Mój błąd. Dziękuję bardzo za pomoc