Funkcja uwikłana Justyna: Jak znaleźć ekstremum lokalne funkcji y(x) zadanej w sposób uwikłany przez równanie h(x,y)=0

WhiskeyTaster: Ogólnie najpierw wyznacz pochodne pierwszego rzędu funkcji h. Wyznacz te punkty, gdzie

	df
		= 0. W tych punktach funkcja nie da się rozwikłać przy pomocy twierdzenia.
	dy

	df
Następnie wyznacz punkty stacjonarne funkcji y(x). W tym celu trzeba przyrównać		= 0,
	dx

bo jest to równoważne temu, że y'(x) = 0. Być może dostaniesz wówczas zależność y(x) od zmiennej x. Wtedy podstaw tę zależność do równania h(x, y(x)) = 0 i znajdź te x, które to będą spełniały. x−sy, które to spełnią będą ekstremami funkcji uwikłanej. Na koniec wyznacz y''(x). Potem musisz sprawdzić ile wynosi y''(x_i), gdzie x_i to punkty stacjonarne. To tak ogólnikowo

WhiskeyTaster: Oczywiście tam, gdzie jest df miałem na myśli dh

Justyna: Dziękuję za odpowiedź, trochę się podopytuję:

	df
policzyłam
	dx

i przyrównałam do zera. 40y(x−y)=0 ⇒ y=0 lub x=y Jako że po podstawieniu y=0 do h(x,y) wychodzi h=30, to podstawiam x=y, h=y⁵ − 20y³ + 30y² + 19y − 30 =0 Powinnam to teraz rozwiązać?

Justyna: Znaczy no dobra, w sumie oczywiste, że tak tylko duże to i kłopotliwie będzie. Chciałabym się tylko dopytać po co wyznaczać drugą pochodną y

Justyna: Bo rozwiązanie tego równania jest ekstremami

WhiskeyTaster: Drugą pochodną po y, to jest y''(x) wyznaczamy po to, by określić jakiego typu to ekstremum − minimum czy maximum. Tak, dobrze rozwiązujesz. Z tym, że ja zawsze sobię podstawiam za y pewną zależność od x, żeby uniknąć potem rachunków. Pewnie, u Ciebie masz y(x) = x, ale gdyby było jakieś inne wyrażenie, to potem wyliczone y musisz wstawić tu i policzyć x, co jest po prostu zbędne, skoro można inaczej

WhiskeyTaster: A co do samego równania − spróbuj najpierw szukać wśród dzielników wyrazu wolnego.

Justyna: Ale skoro y=x to y''=0? Nie rozumiem trochę jak ten znak ekstremów znaleźć, może cały przykład podam h(x,y)= y⁵ − 40xy² + 20x² y + 30y² + 19y −30

dh
	=40y(x−y)
dx

dh
	= 20x2 − 80xy +5y4 + 60y + 19
dy

Ekstrema wyszły mi x={−5,−1,1,2,3}

ABC: niech zauważy że suma współczynników równa zeru, ja swoim uczniom od tego polecam zaczynać

Justyna: Czy może

d2 f
dx2

WhiskeyTaster: Justyno, trzeba się nauczyć wzorów

	d2 f   dx2
y''(x) = −
	d2f   dy2

WhiskeyTaster: I oczywiście potem podstawiasz dany punkt, chyba, że y''(x) jest stała, to nie musisz.

Justyna:

	−2y
y''(x) wyszło mi		, masz na myśli podstawianie teraz punktów (−5,−5),(−1,−1)
	y3 + 3 −4x

itd.?

Justyna: czy samego x

Justyna:

	−2
Pytam bo wyszły mi 3 ujemne, 1 dodatnie i jedno
	0

WhiskeyTaster: Zapomniałaś o czymś

	df
Nie bez powodu mówiłem o sprawdzeniu, kiedy		= 0. Musisz sprawdzić, czy punkty, które
	dy

Ci wyszły nie należą do zbioru rozwiązań tego równania − inaczej otrzymasz w mianowniku 0. Ba, inaczej funkcja uwikłana nie będzie określona w otoczeniu tego punktu. Co do y''(x) zastanawiam się, sam dopiero wczoraj co nieco zrozumiałem pojęcie funkcji uwikłanej

ABC: weźcie sobie książkę Włodzimierz Wrona Matematyka , jutro biblioteki otwierają , tam to jest ładnie wytłumaczone drugi tom w wydaniu dwutomowym , było jeszcze trzytomowe

WhiskeyTaster: Chociaż myślę, że podstawienie punktu chyba będzie prawidłowe. f to funkcja dwóch zmiennych, więc tak, na to wygląda. Zawsze można by wyznaczyć y(x) i podstawić w miejsce y. Wtedy moglibyśmy podać jeden argument i zobaczyć, czy wyjdzie to samo.

WhiskeyTaster: ABC, poszukam może PDF'a i zobaczę, bo szczerze jeszcze trochę z tego nie rozumiem

Justyna:

	df
Tylko, że podstawiłam te ekstrema do		i żadne nie daje zera
	dy

Justyna: OKi, sama pójdę jeszcze raz wykład przeczytam, dziękuję bardzo

WhiskeyTaster: Jeśli to nie problem, to chciałbym zobaczyć te notatki, może są lepsze niż te, które sam mam

Justyna: W sumie dużo tu tego nie mam, ale znalazłam błąd wzór na

	df		d2 f
y''(x) dzielimy to przez		nie przez
	dy		dy2

WhiskeyTaster: Faktycznie, sam źle przepisałem do notatek