Funkcja uwikłana Justyna: Jak znaleźć ekstremum lokalne funkcji y(x) zadanej w sposób uwikłany przez równanie h(x,y)=0
10 maj 12:41
WhiskeyTaster: Ogólnie najpierw wyznacz pochodne pierwszego rzędu funkcji h. Wyznacz te punkty, gdzie
 df 

= 0. W tych punktach funkcja nie da się rozwikłać przy pomocy twierdzenia.
 dy 
 df 
Następnie wyznacz punkty stacjonarne funkcji y(x). W tym celu trzeba przyrównać

= 0,
 dx 
bo jest to równoważne temu, że y'(x) = 0. Być może dostaniesz wówczas zależność y(x) od zmiennej x. Wtedy podstaw tę zależność do równania h(x, y(x)) = 0 i znajdź te x, które to będą spełniały. x−sy, które to spełnią będą ekstremami funkcji uwikłanej. Na koniec wyznacz y''(x). Potem musisz sprawdzić ile wynosi y''(xi), gdzie xi to punkty stacjonarne. To tak ogólnikowo emotka
10 maj 12:59
WhiskeyTaster: Oczywiście tam, gdzie jest df miałem na myśli dh emotka
10 maj 13:01
Justyna: Dziękuję za odpowiedź, trochę się podopytuję:
 df 
policzyłam

 dx 
i przyrównałam do zera. 40y(x−y)=0 ⇒ y=0 lub x=y Jako że po podstawieniu y=0 do h(x,y) wychodzi h=30, to podstawiam x=y, h=y5 − 20y3 + 30y2 + 19y − 30 =0 Powinnam to teraz rozwiązać?
10 maj 13:20
Justyna: Znaczy no dobra, w sumie oczywiste, że tak tylko duże to i kłopotliwie będzie. Chciałabym się tylko dopytać po co wyznaczać drugą pochodną y
10 maj 13:23
Justyna: Bo rozwiązanie tego równania jest ekstremami
10 maj 13:24
WhiskeyTaster: Drugą pochodną po y, to jest y''(x) wyznaczamy po to, by określić jakiego typu to ekstremum − minimum czy maximum. Tak, dobrze rozwiązujesz. Z tym, że ja zawsze sobię podstawiam za y pewną zależność od x, żeby uniknąć potem rachunków. Pewnie, u Ciebie masz y(x) = x, ale gdyby było jakieś inne wyrażenie, to potem wyliczone y musisz wstawić tu i policzyć x, co jest po prostu zbędne, skoro można inaczej emotka
10 maj 13:31
WhiskeyTaster: A co do samego równania − spróbuj najpierw szukać wśród dzielników wyrazu wolnego.
10 maj 13:38
Justyna: Ale skoro y=x to y''=0? Nie rozumiem trochę jak ten znak ekstremów znaleźć, może cały przykład podam h(x,y)= y5 − 40xy2 + 20x2 y + 30y2 + 19y −30
dh 

=40y(x−y)
dx 
dh 

= 20x2 − 80xy +5y4 + 60y + 19
dy 
Ekstrema wyszły mi x={−5,−1,1,2,3}
10 maj 13:40
ABC: niech zauważy że suma współczynników równa zeru, ja swoim uczniom od tego polecam zaczynać emotka
10 maj 13:40
Justyna: Czy może
d2 f 

dx2 
10 maj 13:53
WhiskeyTaster: Justyno, trzeba się nauczyć wzorów emotka
 
d2 f 

dx2 
 
y''(x) = −

 
d2f 

dy2 
 
10 maj 13:57
WhiskeyTaster: I oczywiście potem podstawiasz dany punkt, chyba, że y''(x) jest stała, to nie musisz.
10 maj 13:58
Justyna:
 −2y 
y''(x) wyszło mi

, masz na myśli podstawianie teraz punktów (−5,−5),(−1,−1)
 y3 + 3 −4x 
itd.?
10 maj 14:13
Justyna: czy samego x
10 maj 14:20
Justyna:
 −2 
Pytam bo wyszły mi 3 ujemne, 1 dodatnie i jedno

 0 
10 maj 14:29
WhiskeyTaster: Zapomniałaś o czymś emotka
 df 
Nie bez powodu mówiłem o sprawdzeniu, kiedy

= 0. Musisz sprawdzić, czy punkty, które
 dy 
Ci wyszły nie należą do zbioru rozwiązań tego równania − inaczej otrzymasz w mianowniku 0. Ba, inaczej funkcja uwikłana nie będzie określona w otoczeniu tego punktu. Co do y''(x) zastanawiam się, sam dopiero wczoraj co nieco zrozumiałem pojęcie funkcji uwikłanej emotka
10 maj 14:34
ABC: weźcie sobie książkę Włodzimierz Wrona Matematyka , jutro biblioteki otwierają , tam to jest ładnie wytłumaczone drugi tom w wydaniu dwutomowym , było jeszcze trzytomowe
10 maj 14:36
WhiskeyTaster: Chociaż myślę, że podstawienie punktu chyba będzie prawidłowe. f to funkcja dwóch zmiennych, więc tak, na to wygląda. Zawsze można by wyznaczyć y(x) i podstawić w miejsce y. Wtedy moglibyśmy podać jeden argument i zobaczyć, czy wyjdzie to samo.
10 maj 14:39
WhiskeyTaster: ABC, poszukam może PDF'a i zobaczę, bo szczerze jeszcze trochę z tego nie rozumiem emotka
10 maj 14:42
Justyna:
 df 
Tylko, że podstawiłam te ekstrema do

i żadne nie daje zera
 dy 
10 maj 14:43
Justyna: OKi, sama pójdę jeszcze raz wykład przeczytam, dziękuję bardzo
10 maj 14:44
WhiskeyTaster: Jeśli to nie problem, to chciałbym zobaczyć te notatki, może są lepsze niż te, które sam mam emotka
10 maj 14:51
Justyna: W sumie dużo tu tego nie mam, ale znalazłam błąd wzór na
 df d2 f 
y''(x) dzielimy to przez

nie przez

 dy dy2 
10 maj 15:31
WhiskeyTaster: Faktycznie, sam źle przepisałem do notatek emotka
10 maj 15:45