Dowód indukcyjny Ktostam: Mamy ciąg a_n określony następująco: a₁=1 a₁+2a₂+3a₃+...+na_n=n(n+1)a_n dla n ≥ 2 Jak indukcyjnie dowieść, że wzór na ogólny wyraz ciągu to a_n=1/2n?

Ktostam: Oczywiście dla n≥2

ABC: dziwna ta treść , czy chodzi o to że a₁+2a₂+3a₃+...+(n−1)a_n−1=n(n+1)a_n−na_n i teraz trzeba z tego wyliczyć a_n?

Ktostam: No tak, trzeba wyznaczyć wzór na ogólny wyraz ciągu i sprawdziłem kilka początkowych wyrazów i pasuje do wzoru 1/2n i chciałbym to udowodnić indukcyjnie, ale nie wiem jak.

Ktostam: Ten ciąg jest określony rekurencyjnie.

ABC: skąd ty bierzesz takie dziwne zadania? jakiś wykładowca niezły towar wciąga

Ktostam: Z książki i nie jestem na studiach 😅

ABC: to łatwo idzie ale z takiego wariantu indukcji którego raczej nie uczą w szkole, zobacz tu https://pl.wikipedia.org/wiki/Indukcja_matematyczna pierwsze zdania po "Indukcja zupełna" przeczytaj Dlatego ciekaw jestem co to za książka, pewnie zbiór dla olimpijczyków, a w takim razie pracuj samodzielnie

jc: dla n ≥2 a₁+2a₂+...+ (n−1)a_n−1 + na_n = n(n+1)a_n a₁+2a₂+...+(n−1)a_n−1 = n²a_n podobnie a₁+2a₂+...+(n−1)a_n−1+na_n = (n+1)²a_n+1 Odejmując od ostatniego przedostatnie otrzymujemy na_n=(n+1)²a_n+1−n²a_n n(n+1)a_n=(n+1)²a_n+1 lub po prostu (n+1)a_n+1=na_n Pamiętajmy jednak, że wzór działa dla n≥2, więc trzeba wcześniej wyznaczyć a₂. Teraz możemy wykorzystać zwykłą indukcję, choć na pewno lepiej posłuch ABC i poznać coś ogólniejszego.