parametr fil: Dla jakich wartości parametru p ∊ R równanie x4 + 2(p − 2)x2 + p2 − 1 = 0 ma dwa rozne rozwiazania?
9 maj 17:01
Jerzy: Podstaw t = x2 i t ≥ 0 Równanie f(t) = 0’musi mieć jedno rozwiązanie dodatnie lub dwa, ale przeciwnych znaków.
9 maj 17:09
fil: To podstawilem i mam tak:
 −2(p − 2) − 5 − 4p 
t1 =

 2 
 −2(p − 2) + 5 − 4p 
t2 =

 2 
9 maj 17:11
Jerzy: A nałożyłeś jakieś warunki na wyróżnik równania f(t) = 0 ?
9 maj 17:17
fil:
 5 
Δ = 0, p =

 4 
Wtedy mam rownanie:
 3 9 3 
t2

t +

= (t −

)2
 2 16 4 
Dostajemy dodatnie t − czyli wyjsciowe rownanie bedzie miec dokladnie dwa rozne pierwiastki Δ > 0 (jak rozumiem, iloczyn pierwiastków musi być ujemny) t1t2 < 0 p2 − 1 < 0 p ∊ (−1, 1) Odpowiedz:
 5 
p ∊ (−1, 1) u {

}
 4 
9 maj 17:25
Jerzy: Jeśli Δ = 0, to musi być xw > 0 Jeśli Δ > 0,to: t1t < 0
9 maj 17:28
PW: x4 + 2(p − 2)x2 = (x2+p−2)2 − (p − 2)2, więc badane równanie ma postać, (x2+p−2)2 − (p − 2)2 + p2 − 1 = 0 (x2+p−2)2 − p2 + 4p − 4 + p2 − 1 = 0 (*) (x2+p−2)2 = 5 − 4p
 5 
Równanie to nie ma rozwiązań, gdy 5 − 4p < 0, tzn. gdy p >

.
 4 
 5 
Dla p =

mamy równanie
 4 
 3 
(x2

)2 = 0,
 4 
 3 3 
które ma dwa rozwiązania: x = −

i x2 =

.
 2 2 
 5 
Jeżeli p <

, to prawa strona równania (*) jest dodatnia, oznaczmy ją symbolem u.
 4 
Z (*) wynika, że (**) x2 + p − 2 = − u lub x2 + p −2 = u.
 5 − u u + 3 
Przyjęte oznaczenie daje 5 − 4p = u, czyli p − 2 =

− 2 = −

,
 4 4 
alternatywa (**) ma zatem postać
 u + 3 u + 3 
x2 =

u lub x2 =

+ u.
 4 4 
Drugie z równań ma dwa rozwiązania (prawa strona jest dodatnia), zatem pierwsze nie może mieć rozwiązań, czyli musi być
 u + 3 

u < 0
 4 
 u + 3 

< u
 4 
(u + 3)2 < 16u u2 + 6u + 9 − 16u < 0 u2 − 10u + 9 < 0 (u − 1)(u − 9) < 0 u ∊ (1, 9) 5 − 4p ∊ (1, 9) − 4p ∊ (− 4, 4) p ∊ (− 1, 1) Odpowiedź taka jak u poprzednika z 17:25.
9 maj 20:14
fil: Oczywiscie, bo tym poprzednikiem jest sam pytajacy
9 maj 20:24
PW: To nie ma nic do rzeczy. Nie należę do Sekty Wielbicieli Delty Naszej Kochanej, którzy każdą modlitwę zaczynają od Jej Imienia. Chciałem pokazać, że w innym obrządku też można dojść do zbawienia.
9 maj 20:38
Eta: emotka... za to,że mnie rozbawiłeś do łez
9 maj 20:40