parametr fil: Dla jakich wartości parametru p ∊ R równanie x⁴ + 2(p − 2)x² + p² − 1 = 0 ma dwa rozne rozwiazania?

Jerzy: Podstaw t = x² i t ≥ 0 Równanie f(t) = 0’musi mieć jedno rozwiązanie dodatnie lub dwa, ale przeciwnych znaków.

fil: To podstawilem i mam tak:

	−2(p − 2) − √5 − 4p
t1 =
	2

	−2(p − 2) + √5 − 4p
t2 =
	2

Jerzy: A nałożyłeś jakieś warunki na wyróżnik równania f(t) = 0 ?

fil:

	5
Δ = 0, p =
	4

Wtedy mam rownanie:

	3		9		3
t2 −		t +		= (t −		)2
	2		16		4

Dostajemy dodatnie t − czyli wyjsciowe rownanie bedzie miec dokladnie dwa rozne pierwiastki Δ > 0 (jak rozumiem, iloczyn pierwiastków musi być ujemny) t₁t₂ < 0 p² − 1 < 0 p ∊ (−1, 1) Odpowiedz:

	5
p ∊ (−1, 1) u {		}
	4

Jerzy: Jeśli Δ = 0, to musi być x_w > 0 Jeśli Δ > 0,to: t₁t < 0

PW: x⁴ + 2(p − 2)x² = (x²+p−2)² − (p − 2)², więc badane równanie ma postać, (x²+p−2)² − (p − 2)² + p² − 1 = 0 (x²+p−2)² − p² + 4p − 4 + p² − 1 = 0 (*) (x²+p−2)² = 5 − 4p

	5
Równanie to nie ma rozwiązań, gdy 5 − 4p < 0, tzn. gdy p >		.
	4

	5
Dla p =		mamy równanie
	4

	3
(x2 −		)2 = 0,
	4

	√3		√3
które ma dwa rozwiązania: x = −		i x2 =		.
	2		2

	5
Jeżeli p <		, to prawa strona równania (*) jest dodatnia, oznaczmy ją symbolem u.
	4

Z (*) wynika, że (**) x² + p − 2 = − √u lub x² + p −2 = √u.

	5 − u		u + 3
Przyjęte oznaczenie daje 5 − 4p = u, czyli p − 2 =		− 2 = −		,
	4		4

alternatywa (**) ma zatem postać

	u + 3		u + 3
x2 =		− √u lub x2 =		+ √u.
	4		4

Drugie z równań ma dwa rozwiązania (prawa strona jest dodatnia), zatem pierwsze nie może mieć rozwiązań, czyli musi być

	u + 3
		− √u < 0
	4

	u + 3
		< √u
	4

(u + 3)² < 16u u² + 6u + 9 − 16u < 0 u² − 10u + 9 < 0 (u − 1)(u − 9) < 0 u ∊ (1, 9) 5 − 4p ∊ (1, 9) − 4p ∊ (− 4, 4) p ∊ (− 1, 1) Odpowiedź taka jak u poprzednika z 17:25.

fil: Oczywiscie, bo tym poprzednikiem jest sam pytajacy

PW: To nie ma nic do rzeczy. Nie należę do Sekty Wielbicieli Delty Naszej Kochanej, którzy każdą modlitwę zaczynają od Jej Imienia. Chciałem pokazać, że w innym obrządku też można dojść do zbawienia.

Eta: ... za to,że mnie rozbawiłeś do łez