Układ równań AHQ: Wykazać, że istnieje nieskończenie wiele trójek x,y,z liczb wymiernych spełniających układ równań:

	⎧	x+y+z=1
	⎩	x2+y2+z2=1

Odp: Dla dowolnego wymiernego t wystarczy przyjąć:

	t+1		−t		t2+1
x =		, y =		, z =
	t2+t+1		t2+t+1		t2+t+1

Jasne, zgadza się, ale czy tyle wystarczy by uzyskać maks. punktów za zadanie ? Jak można przedstawić ów rozwiązanie, by nikt się nie doczepił skąd wynikają takie podstawienia ? Pozdrawiam.

jc:

	t2+t
Tam powinno być z=
	t2+t+1

AHQ: Jasne, nie dopatrzyłem, dzięki.

AHQ: Wiesz, czy da się jakoś wyprowadzić te podstawienia?

jc: x+y+z=1 x²+y²+z²=1 podstawiasz z=1−x−y do drugiego równania otrzymujesz x²+y²=x+y−xy x=1, y=0 spełniają to równanie. a teraz konstrukcja diofantesa prowadzisz przez (1,0) prostą o nachyleniu t i szukasz drugiego punktu przecięcia y=t(x−1) spróbuj sam lub poczekaj

ABC: jc przypomniałeś mi że muszę przerobić Diofantosa do końca , utknąłem na początku trzeciej księgi, a tam dalej najciekawsze się zaczyna, facet założył podstawy pod teorię krzywych algebraicznych

jc: lepiej wybierz punkt (0,1), wtedy y=tx+1

	−t
otrzymasz x=
	t2+t+1

	t+1
y=
	t2+t+1

	t2+t
z=
	t2+t+1

Jiraya: Można też tak. Niech x, y, z będą wymierne oraz niech istnieją takie liczby m oraz k należące do zbioru liczb wymiernych, że y = kx z = mx Po podstawieniu i rozwiązaniu układu otrzymasz

	1+m
x =
	m2+n+1

Pozostaje doliczyć y oraz z.

Jiraya: Poprawka

	1 + m
x =
	m2 + m + 1

AHQ: @jc Mógłbyś bardziej rozpisać lub przynajmniej odesłać do jakiegoś źródła z teorią, lub przykładami ? Dopiero zacząłem się bawić z równaniami diofantycznymi i nie bardzo rozumiem.

AHQ: @Jiraya Dzięki

jc: Można tak, ale postać rozwiązania będzie inna. x(1+k+m)=1 x²(1+k²+m²)=1 (1+k+m)²=1+k²+m² k+m+km=0 k=−m/(1+m)

	m+1
x=1/(1+k+m)=
	m2+2m

	m2+m
y=
	m2+2m

	−m
z=
	m2+2m

jc: oj, pomyliłem się.

	m+1
x=		itd. jak napisał AHQ
	m2+m+1

jc: ... jak napisał Jiraya.

Jiraya: na zdrowie

AHQ: Okay To w takim razie korzystając z okazji, może zerknijcie jeszcze na podobne zadanie:

⎧	x2+y2+z2=1 (1)
⎩	x3+y3+z3=1 (2)

Rozwiązanie: Z (1) wynika, że −1 ≤ x ≤ 1, −1 ≤ y ≤ 1, −1 ≤ z ≤ 1 ponieważ kwadrat liczby jest zawsze nieujemny. Z tego z kolei mamy x² ≥ x³, y² ≥ y³ i z² ≥ z³ I ostatecznie x² = x³, y² = y³ i z² = z³ ODP: (x,y,z)∊(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) Jest ok ?

jc: gdyby jakaś nierówność była ostra, to x³+y³+z³ byłoby mniejsze od 1. O.K.