Układ równań AHQ: Wykazać, że istnieje nieskończenie wiele trójek x,y,z liczb wymiernych spełniających układ równań:
 x+y+z=1  
x2+y2+z2=1
Odp: Dla dowolnego wymiernego t wystarczy przyjąć:
 t+1 −t t2+1 
x =

, y =

, z =

 t2+t+1 t2+t+1 t2+t+1 
Jasne, zgadza się, ale czy tyle wystarczy by uzyskać maks. punktów za zadanie ? Jak można przedstawić ów rozwiązanie, by nikt się nie doczepił skąd wynikają takie podstawienia ? Pozdrawiam.
8 maj 17:37
jc:
 t2+t 
Tam powinno być z=

 t2+t+1 
8 maj 18:14
AHQ: Jasne, nie dopatrzyłem, dzięki.
8 maj 18:15
AHQ: Wiesz, czy da się jakoś wyprowadzić te podstawienia?
8 maj 18:18
jc: x+y+z=1 x2+y2+z2=1 podstawiasz z=1−x−y do drugiego równania otrzymujesz x2+y2=x+y−xy x=1, y=0 spełniają to równanie. a teraz konstrukcja diofantesa prowadzisz przez (1,0) prostą o nachyleniu t i szukasz drugiego punktu przecięcia y=t(x−1) spróbuj sam lub poczekaj
8 maj 18:36
ABC: jc przypomniałeś mi że muszę przerobić Diofantosa do końca , utknąłem na początku trzeciej księgi, a tam dalej najciekawsze się zaczyna, facet założył podstawy pod teorię krzywych algebraicznych emotka
8 maj 18:42
jc: lepiej wybierz punkt (0,1), wtedy y=tx+1
 −t 
otrzymasz x=

 t2+t+1 
 t+1 
y=

 t2+t+1 
 t2+t 
z=

 t2+t+1 
8 maj 18:56
Jiraya: Można też tak. Niech x, y, z będą wymierne oraz niech istnieją takie liczby m oraz k należące do zbioru liczb wymiernych, że y = kx z = mx Po podstawieniu i rozwiązaniu układu otrzymasz
 1+m 
x =

 m2+n+1 
Pozostaje doliczyć y oraz z.
8 maj 19:34
Jiraya: Poprawka
 1 + m 
x =

 m2 + m + 1 
8 maj 19:36
AHQ: @jc Mógłbyś bardziej rozpisać lub przynajmniej odesłać do jakiegoś źródła z teorią, lub przykładami ? Dopiero zacząłem się bawić z równaniami diofantycznymi i nie bardzo rozumiem.
8 maj 19:41
AHQ: @Jiraya Dzięki emotka
8 maj 19:45
jc: Można tak, ale postać rozwiązania będzie inna. x(1+k+m)=1 x2(1+k2+m2)=1 (1+k+m)2=1+k2+m2 k+m+km=0 k=−m/(1+m)
 m+1 
x=1/(1+k+m)=

 m2+2m 
 m2+m 
y=

 m2+2m 
 −m 
z=

 m2+2m 
8 maj 19:49
jc: oj, pomyliłem się.
 m+1 
x=

itd. jak napisał AHQ
 m2+m+1 
8 maj 19:51
jc: ... jak napisał Jiraya.
8 maj 19:54
Jiraya: na zdrowie emotka
8 maj 19:59
AHQ: Okay emotka To w takim razie korzystając z okazji, może zerknijcie jeszcze na podobne zadanie:
x2+y2+z2=1 (1)  
x3+y3+z3=1 (2)
Rozwiązanie: Z (1) wynika, że −1 ≤ x ≤ 1, −1 ≤ y ≤ 1, −1 ≤ z ≤ 1 ponieważ kwadrat liczby jest zawsze nieujemny. Z tego z kolei mamy x2 ≥ x3, y2 ≥ y3 i z2 ≥ z3 I ostatecznie x2 = x3, y2 = y3 i z2 = z3 ODP: (x,y,z)∊(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) Jest ok ?
8 maj 20:05
jc: gdyby jakaś nierówność była ostra, to x3+y3+z3 byłoby mniejsze od 1. O.K.
8 maj 20:13