równanie stycznej Matfiz: Znajdź równanie stycznej do wykresu funkcji f(x)=−x² +2x przechodzącej przez punkt P=(−1,1). Rozważ wszystkie przypadki. Mam pytanie czy jest jakiś inny sposób na rozwiązanie tego zadania? Ja zrobiłem to w taki sposób że napisałem równanie stycznej postaci y=ax+a+1 i przyrównałem to do równania funkcji f, policzyłem delte i wyszły mi rozwiązania, ale czy można to jakoś inaczej zrobić?

wredulus_pospolitus: można podejść do tego w drugą stronę: 1) wyznaczasz OGÓLNY wzór stycznej (nazwijmy ją g(x)) do f(x) w punkcie P(a, f(a)) 2) podstawiasz g(−1) = 1 ... równanie kwadratowe ... wyjdą Ci a₁, a₂ które są współrzędnymi styczności

wredulus_pospolitus: pierwszymi współrzędnymi punktów styczności <−−− tak miało być

wredulus_pospolitus: jednak chwila −−−− stworzyłeś układ równań:

⎧	y = ax + a + 1
⎩	y = −x2 + 2x

i szukasz takich 'a' dla których ten układ ma dokładnie jedno rozwiązanie, czy co robisz tak

Matfiz: zrobiłem to w ten sposób: y=ax+b − równanie stycznej wiadomo że przechodzi ona przez punkt P(−1,1) więc 1=−1+b ⇔ b = a+1 ⇒ y=ax+a+1 i teraz przyrównuje: ax+a+1 = −x² +2x x² +(a−2)x +a+1=0 Δ = a² −4a +4−4a−4=0 a² −8a=0 a(a−8) = 0 a=0 lub a=8 i podstawiam: y=1 lub y=8x+9

Matfiz: a jakoś inaczej można sobie z takim zadaniem poradzić? bo ten sposób co ty podales tez wymaga liczenia delty

Matfiz: tam miało być 1=−a+b

wredulus_pospolitus: czyli zrobiłeś to co myślałem masz prostą o równaniu y = ax + a + 1 i sprawdzasz dla jakiego 'a' ta prosta będzie miała DOKŁADNIE JEDEN punkt wspólny z f(x) = −x² + 2x W takim razie powiem Ci, że metoda jest 'do dupy' Styczna do wykresu funkcji f(x) może mieć więcej niż jeden punkt wspólny z tą funkcją (pierwszy sok) .... może mieć nieskończenie wiele takich punktów bądź nawet ją (funkcję f(x) ) nieskończenie wiele razy przecinać Prosta y = 1 NIE JEST styczną do wykresu f(x) co więcej −−− prosta y = 1 PRZECINA f(x). Zauważyłbyś to, gdybyś zrobił rysunek.

Matfiz: W odpowiedzi również mam y=1

Matfiz: teraz sobie narysowałem i wszystko się zgadza więc nie wiem o co ci chodzi

wredulus_pospolitus: racja ... popierdzieliło mi się −−− chodzi mi oto, że jeszcze x = −1 jest taką prostą która ma jeden punkt wspólny z f(x), a nie jest to styczna

wredulus_pospolitus: co nie zmienia faktu ... że metoda ta nie może być traktowana jako standardowa metoda do wykonania tego typu zadań, ponieważ już dla g(x) = x³ − 1 miałbyś 'kaszanę'

Matfiz: no właśnie teraz trafiłem na zadanie z funkcją wielomianową 3 stopnia i mam mały problem

wredulus_pospolitus: no masz duży problem ... bo tak jak robiłeś tutaj niestety zrobić nie możesz .... musisz robić tak jak Ci zaproponowałem

Matfiz: Właśnie zrobiłem już ale nie rozumiem jednej rzeczy, wynik dobry wyszedł

wredulus_pospolitus: jakiej rzeczy nie rozumiesz

Matfiz: Mógłbyś pokazać jak ty to rozwiązujesz twoim sposobem?

wredulus_pospolitus: funkcja i punkt potrzebny

Matfiz: To mam tą funkcję f(x) = −x² +2x i punkt styczny oznaczę sobie przez A(a, f(a)) i co dalej? pochodna z tej funkcji ?

B2: pospolity chyba musisz iść odpocząć, weź urlop wypoczynkowy

wredulus_pospolitus: wzór ogólny stycznej: y = f'(a)*(x − a) + f(a) y = (−2a + 2)*(x − a) + (−a² + 2a) y = 2(1−a)x + 2a² − 2a − a² + 2a y = 2(1−a)x + a² P(−1;1) 1 = 2(1−a)*(−1) + a² 1 = 2a − 2 + a² −−−> a² + 2a − 3 = 0 −−−> (a+3)(a−1) = 0 −−−> a = 1 lub a = −3 I stąd mamy: y = 2(1−1)x + 1² −−−> y = 1 y = 2(1 − (−3))x + (−3)² −−−> y = 8x + 9

Matfiz: Dobra teraz wszystko jasne, dzięki bardzo za pomoc