Znajdź U_{n∊N} A_n oraz ⋂_{n∊N} A_{n} , jeśli A_{n} = { x ∊ R : U{1}{n+1} ≤ x ≤ Całeczka:

	1		1
Znajdź Un∊N An oraz ⋂n∊N An , jeśli An = { x ∊ R :		≤ x ≤		}
	n+1		n

wredulus_pospolitus: U_n A_n = (0 ; 1> ⋂_n A_n = ∅ (notka: zauważ, że już A₁ n A₃ = ∅)

Całeczka: Okej, do tego doszedłem tak "intuicyjnie", ale jak to udowodnić?

WhiskeyTaster:

	1
Zacznijmy od tego, że n rośnie. Skoro n rośnie, to		maleje. Stąd dla sumy największym
	n

składnikiem, to jest maximum z elementów wszystkich tych zbiorów wynosi 1 i właśnie ta liczba

	1
będzie prawym końcem naszego przedziału. Z kolei wiemy, że		> 0, a także, że granica
	n+1

tego wyrażenia wynosi 0. Stąd widać, że 0 będzie liczbą ograniczającą nasz zbiór z lewej strony − oczywiście zera nie wliczamy, bo jak widać nigdy go nie osiągniemy. Z przekrojem jest mniej zabawy. Wredulus już napisał, że A₁ ∩ A₃ = ∅. Wobec tego A₁ ∩ A₂ ∩ A₃ ∩... ∩ A_n = ∅ ∩ A₂ ∩ A₄ ∩ ... ∩ A_n = ∅

WhiskeyTaster: A jeszcze inaczej:

	1
A1 = {x ∊ R:		≤ x ≤ 1}
	2

	1		1
A2 = {x ∊ R:		≤ x ≤		}
	3		2

	1		1
A3 = {x ∊ R:		≤ x ≤		} i tak dalej, a więc
	4		3

	1		1		1		1
A1 ∪ A2 = {x ∊ R:		≤ x ≤ 1 ∨		≤ x ≤		} = {x ∊ R:		≤ x ≤ 1}
	2		3		2		3

Widać, że jak tak będziemy sumować w nieskończoność, to dostaniemy (0, 1>