trójkąty ostrokątne w okręgu edi: Na okręgu znajduje się n punktów. Wśród wszystkich trójkątów wyznaczonych przez te punkty trójkąty ostrokątne stanowią dokładnie połowę. Dla jakich n jest to możliwe?

Andrzej: Po pierwsze n ≥ 3 aby można było wyznaczyć przynajmniej jeden trójkąt.

	n 3
Liczba trójkątów wyznaczonych przez n punktów leżących na okręgu jest równa

− po prostu z n punktów wybieramy 3, zawsze utworzymy wtedy trójkąt.

	n 3
Żeby liczba trójkątów ostrokątnych mogła być połową liczby wszystkich trójkątów, liczba

musi być parzysta. A tak się dzieje kiedy liczba n jest parzysta.

n 3		n(n−1)(n−2)
	=
		6

jeśli n jest nieparzyste to jedyną parzystą liczbą w liczniku jest n−1i wtedy dzieląc przez 6 stracimy parzystość całego wyniku. jeśli n jest parzyste to również n−2 jest parzyste, wtedy dzieląc przez 6 zachowujemy parzystość całego wyniku. A zatem sytuacja jest możliwa dla n parzystych począwszy od 4 wzwyż, co można zapisać n=2k+4, k∊N

edi: Dziękuję, w moich obliczeniach doszedłem do takiego samego wzoru Zastanawiałem się, czy dla parzystej liczby trójkątów, zawsze można otrzymać układ w którym połowa z nich jest ostrokątna. Nie istnieje żaden inny warunek oprócz parzystej liczby trójkątów? Dziękuję i pozdrawiam

edi: Nie doczytałem do końca. Wzór na liczbę trójkątów w zależności od pkt mam taki sam, ale nie dla wszystkich n nieparzystych liczba trójkątów będzie nieparzysta. Podstaw 5, wyjdzie 10. Podstaw 9, wyjdzie 84. Nieparzysta liczba trójkątów wyjdzie dla n = 4k − 1, k ∊ N

edi: Nikt z Was nie ma pomysłu?

tim: Powoli. To z czasem. Nie wszyscy siedzą całe dnie na forum. Wieczorem większy ruch.

Andrzej: jasne, jasne, dałem lekko ciała. Przecież jak (n−1) jest parzyste ale i podzielne przez 4 to nie tracimy podzielności przez 2... Mea culpa. Czyli tak: dla n parzystych i większych lub równych 4 jest na pewno ok. Dla n−1 podzielnych przez 4 też jest ok, czyli n−1 = 4k+4 (żeby były równe co najmniej 4) czyli n = 4k+5. Może ktoś jeszcze coś wynajdzie.

edi: No jak dla mnie dla n∊<3;∞) / {4k−1}, k∊N Tylko pytaniem jest, czy dla każdego układu z parzystą liczbą trójkątów można zrobić układ dokładnie z połową parzystych. Na pewno można dla 4 (4 trójkąty) oraz dla 5 (10 trójkątów). Dalej nie zdołałem sprawdzić, z powodu zbyt dużej liczby trójkątów Proszę o pomoc

Karol: To zadanie ma tylko dwa rowiązania: n=4 oraz n=5. Dowód znalazłem, ale nieprosty. Im n jest większe, tym bardziej stosunek maksymalnej możliwej liczy trójkątów ostrokątnych do liczby wszystkich trójkątów zbliża się do 1/4.