funkcja kwdratowa dejw: Niech a, b, c∊R oraz a + b + c> 0 takie że ax² + bx + c = 0 nie ma pierwiastków. Wykaż że c> 0.

PW: Równanie kwadratowe nie ma rozwiązań, a więc Δ <0 b² − 4ac <0 (1) b² < 4ac Jest oczywiste, że gdy a > 0 nierówność (1) oznacza, że również c > 0. Gdyby a < 0, nierówność (1) oznaczałaby, że również c < 0 oraz (2) |b| < √4ac. Z założenia a + b + c > 0, −a − b − c < 0 −a − c < b, tym bardziej − a − c < |b| czyli |a| + |c| < |b| skąd na podstawie (2) |a| + |c| < √4ac. Obie strony ostatniej nierówności są dodatnie, a więc |a|² + 2|a||b| + |b|² < 4|a||b| |a|² − 2|a||b| + |b|² < 0 (|a| − |b|)² < 0, co jest niemożliwe. Otrzymana sprzeczność oznacza, że założenie a < 0 i c < 0 jest sprzeczne z warunkami zadania, musi być więc c > 0. Przypadek, gdy równanie ax² + bx + c = 0 nie jest równaniem kwadratowym należy rozpatrzeć osobno.