stereometria f123: W prawidlowym trojkatnym ostroslupie ABCS o podstawie ABC dana jest wysokosc ostroslupa h i miara kata dwusciennego miedzy scianami bocznymi α. Oblicz objetosc tego ostroslupa.

Poprostupatryk: https://imgur.com/a/sWdCygu trudne, bo zajmuje dużo czasu. Jak patrzę na zadania z matury angielskiej A−levels, to aż żal się robi jak tam zadania tam są na 5 minut każde.

Poprostupatryk: Zobacz czy wynik zgodny z odpowiedziami, jak nie to proszę o poprawę

f123: Nie zgodny

Eta: A jaką masz odpowiedź ?

wredulus_pospolitus: @Poprostupartyk Krok 1: kluczem do szybkiego rozwiązania jest zauważenie, że Δ_SS'C podobny do Δ_KDC (wspólny kąt przy C, drugi kąt to kąt prosty, więc trzeci także taki sam −−− podobieństwo KKK). Krok 2: z podobieństwa tych trójkątów

x		hp
	=
h		h1

Krok 3: z Δ_SS'C

	2		2	a√3		a2
x2 = h2 + (		hp)2 = h2 + (			)2 = h2 +
	3		3	2		3

Krok 4: z Δ_DKB

h1		a
	= ctg(α/2) −> h1 =		* ctg (α/2)
a/2		2

Krok 5: wracamy do proporcji z (2):

x		hp
	=		// 2
h		h1

h2 + a2/3		3a2/4
	=
h2		a2/4 * ctg2(α/2)

h2 + a2/3		3
	=		= 3tg(α/2)
h2		ctg(α/2)

a²/3 + h² = 3h²*tg(α/2) a²/3 = h²(3tg(α/2) − 1) a² = 3h²(3tg(α/2) − 1) Krok 6:

	1	a2√3		√3		√3
V =			*h =		*3h3(3tg(α/2) − 1) =		h3(3tg(α/2) − 1)
	3	4		12		4

PS. osobiście oznaczyłbym |AB| = 2a, ale już zostawiłem tak jak Ty oznaczyłeś.

wredulus_pospolitus: Uwaga −−− robiąc inny sposobem można uzyskać lekko inny wynik, ze względu na występowanie funkcji tangens w wyniku Jednak zawsze można sprawdzić czy możliwe jest przekształcenie swojego wyrażenia w nawiasie do postaci 3tg²(α/2) − 1) (w ostatnich 5 linijkach pominąłem ² w funkcji trygonometrycznej −−− należy ten błąd mieć na uwadze)

f123: Dobrze