równania rubens: Hej, ma ktoś pomysł jak rozwiązać to równianie i podać dokładny wynik, (nie metodami przybliżonymi) −y³ + 553 y² − 91416 y + 3997584 = 0

wredulus_pospolitus: A jak powstało powyższe równanie

ABC: Ja mam pomysł , ale rachunków nie podejmuję się wykonywać zrobić dwa razy zamianę zmiennych a potem skorzystać ze wzoru na sinus lub cosinus potrojonego kąta.

Mariusz: Po przemnożeniu równania przez −1 zapisz sobie wzór skróconego mnożenia na sześcian sumy bądź różnicy −y³ + 553 y² − 91416 y + 3997584 = 0 y³ − 553 y² + 91416 y − 3997584 = 0 (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³ Chcesz aby wyraz z x² był jednym z wyrazów (a+b)³

	553
przyjmujesz a=x oraz b=−
	3

	553
i zapisujesz wielomian w postaci sumy potęg dwumianu (y−		)
	3

	553		553		305809		169112377
(y−		)3=y3−3(		)y2+3(		)y−
	3		3		9		27

	553		305809		169112377
(y−		)3=y3−553y2+		y−
	3		3		27

	553		31561		553
(y−		)3−		(y−		)=
	3		3		3

	305809		169112377		31561		553
(y3−553y2+		y−		)−		(y−		)
	3		27		3		3

	553		31561		553		8817910
(y−		)3−		(y−		)+		=y3 − 553 y2 + 91416 y − 3997584
	3		3		3		27

Masz zatem

	31561		8817910
w3−		w+		=0
	3		27

Jeżeli znasz zespolone zacznij rozwiązywanie tego równania od pogrupowania wyrazów we wzorze skróconego mnożenia (u+v)³=u³+3u²v+3uv²+v³ (u+v)³=u³+v³+3uv(u+v) Teraz jeśli znasz zespolone to możesz wstawić y=u+v do równania a następnie zapisać otrzymane równanie w postaci układu równań który przekształcasz we wzory Vieta dla pewnego równania kwadratowego Układ równań możesz też dostać zauważając że ten wzór skróconego mnożenia jest w tej samej postaci co rozwiązywane równanie a następnie porównując współczynniki Jeżeli nie miałeś jeszcze wprowadzonych liczb zespolonych to wyprowadź sobie wzór na funkcje trygonometryczne (cosinus bądź sinus) potrojonego kąta bo będzie on przydatny gdy równanie kwadratowe które otrzymasz nie będzie miało pierwiastków rzeczywistych (ujemny wyróżnik) Jeżeli chcesz od razu wybrać sposób rozwiązania to proponowałbym najpierw zbadać liczbę rzeczywistych pierwiastków równania

Mariusz: ABC czyli jednak trzy rozwiązania

ABC: tak i teraz można to równanie które otrzymałeś przeskalować aby stosunek współczynników pozwolił skorzystać ze wzoru trygonometrycznego

rubens: Chodzi głownie o to, że mam do rozwiązania równanie: t⁴−46t³+553t²−2004t+196=0 Metodą ferrari uprościłem to do: (t²−23t)²= −24t²+2004t−196 teraz uzależniłem całe wyrażenie od losowej zmiennej c= y/2, tak aby zwinąć prawą stronę do kwadratu i otrzymałem : (t²−23t+y/2)²= t²(−24t+y)+t(2004−23y)+(−196+y²/4) teraz muszę zwinąć prawą stronę do kwadratu, czyli Δ = 0 (2004−23y)²−4(−24t+y)(−196+y²/4)=0 Stąd moje równanie z początku zadania. Potrzebuje dokładnego y (tylko jednego) które zeruje wyrażenie (2004−23y)²−4(−24t+y)(−196+y²/4)=0 aby uzyskać dokładny kwadrat po prawej stronie, próbowałem to robić różnymi metodami wzorów cardano ale nic nie dało mi wyniku który dokładnie zerowałby to wyrażenie ma ktoś pomysł jak rozwiązać to równianie, albo może pomysł jak rozwiązać równanie pierwotne: t⁴−46t³+553t²−2004t+196=0 Ja już nie mam siły do tego, siedzę nad tym od 3 dni

ABC: z jakiego problemu matematycznego, a może fizycznego powstało to zadanie i dlaczego nie możesz używać metod przybliżonych?

Mariusz: t⁴−46t³+553t²−2004t+196=0 t⁴−46t³=−553t²+2004t−196 t⁴−46t³+529t²=529t²−553t²+2004t−196 t⁴−46t³+529t²=−24t²+2004t−196 (t²−23t)²=−24t²+2004t−196

	y		y2
(t2−23t+		)=(y−24)t2+(−23y+2004)t+		−196
	2		4

Δ=0

	y2
(−23y+2004)2−4(y−24)(		−196)=0
	4

(23y−2004)²−(y−24)(y²−784)=0 (y−24)(y²−784)−(23y−2004)²=0 I teraz nie znalazłeś poprawnego równania rozwiązującego choć sposób rozumowania który tu przedstawiłeś jest dobry

rubens: Dokładnie tak. I teraz czy istnieje jakiś sposób, aby wyznaczyć dokładny pierwiastek wyrażenia: (y−24)(y²−784)−(23y−2004)²=0

ABC: muszę cię zmartwić ale to dalej jest przypadek nieprzywiedlny, co oznacza że dokładne rozwiązania otrzymasz w formie do niczego nie przydatnej bez obliczenia przybliżonych wartości

Mariusz: t⁴−46t³+553t²−2004t+196=0

	23
Przedstawiasz wielomian w postaci sumy potęg dwumianu t−
	2

Kilkukrotne zastosowanie schematu Hornera da współczynniki przy kolejnych potęgach tego dwumianu 1 −46 553 −2004 196 23/2 1 −69/2 625/4 −1657/8 −34975/16 23/2 1 −23 −433/4 −1452 23/2 1 −23/2 −481/2 23/2 1 0 23/2 1 Mamy zatem

	23		481		23		23		34975
(t−		)4−		(t−		)2−1452(t−		)−		=0
	2		2		2		2		16

	23
y=t−
	2

	481		34975
y4−		y2−1452y−		=0
	2		16

	481		34975
(y2−py+q)(y2+py+r)=y4−		y2−1452y−
	2		16

	481		34975
y4+py3+ry2−py3−p2y2−pry+qy2+pqy+qr=y4−		y2−1452y−
	2		16

	481		34975
y4+(q+r−p2)y2+(pq−pr)y+qr=y4−		y2−1452y−
	2		16

	481		34975
y4+(q+r−p2)y2+p(q−r)y+qr=y4−		y2−1452y−
	2		16

	481
q+r−p2=−
	2

p(q−r)=−1452

	34975
qr=−
	16

	481
q+r=−		+p2
	2

	1452
q−r=−
	p

	34975
4qr=−
	4

	481		1452
2q=−		+p2−
	2		p

	481		1452
2r=−		+p2+
	2		p

	34975
4qr=−
	4

	481		1452		481		1452		34975
(−		+p2−		)(−		+p2+		)=−
	2		p		2		p		4

	481		1452		34975
(−		+p2)2−(		)2=−
	2		p		4

	231361		2108304		34975
(p4−481p2+		)−		=−
	4		p2		4

	231361		34975
p6−481p4+		p2−2108304=−		p2
	4		4

	231361		34975
p6−481p4+		p2+		p2−2108304=0
	4		4

p⁶−481p⁴+66584p²−2108304=0 Niech z=p² z³−481z²+66584z−2108304=0 i to także jest przypadek nieprzywiedlny Nie da się wyrazić pierwiastków za pomocą rzeczywistych pierwiastników ale możesz je wyrazić za pomocą funkcyj trygonometrycznych jak to napisał ABC we wpisie z 7 maj 2020 06:36