Udowodnij, że trójkąt jest równoboczny czesc: Dany jest trójkąt o bokach a, b, c. Udowodnij, że jest to trójkąt równoboczny, gdy R=(√a²+b²+c²)/3. Dziękuję za pomoc.

PW: Pierwszy pomysł może być taki: Znamy twierzenie wiążące promień R z długościami boków. Jest to twierdzenie sinusów. Próbowałeś?

Ktostam: Tak próbowałeś i doszedłem do równania trygonometrycznego i nie wiem, co z nim dalej zrobić.

Ktostam: Próbowałem*

Ktostam: O takiego: 2cos²γ−2cos(α−β)*cosγ+1/2=0

PW: Jeżeli dobrze liczyłeś, to potraktuj to równanie jako rónanie kwadratowe z niewiadomą cosγ i parametrem cos(α−β)

Ktostam: No tak, ale potrzebowałbym wskazówki, jak to rozwiązać.

PW: Normalnie − liczysz wyróżnik Δ i wyciągasz wnioski (Δ ≥ 0, bo równanie musi mieć rozwiązanie, a więc…).

Ktostam: Jednak w miarę możliwości, prosiłbym o rozwiązanie.

mat: Niech x = cosγ

	1
2x2−2cos(α−β)x+		= 0
	2

Δ = 4cos²(α−β) − 4 Rozwiazanie istnieje gdy cos²(α−β) = 1 czyli α=β

	2		1
Wtedy x0 =		=
	4		2

	1
cosγ =		→ γ = 60o
	2

α+β = 120^o oraz α=β →α=β=60^o

Ktostam: Dziękuję.