monotoniczność salamandra:

	x2+3
Wyznacz maksymalne przedziały monotoniczności funkcji f(x ) =
	x2−1

D:R \ {−1,1}

	2x(x2−1)−(x2+3)2x		−8x
f'(x)=		=U{2x3−2x−2x3−6x}{(x2−1)2=
	(x2−1)2		(x2−1)2

f'(x)=0 ⇔ −8x=0 ⇒ x=0 I tutaj mam dylemat, bo wiele razy widziałem tu dyskusje nt. funkcji wymiernej − kiedy można pisać np. że funkcja rośnie w R \ {x}, a kiedy trzeba napisać, że (−∞;x)U(x;+∞) Dla bezpieczeństwa tu napisałem, że funkcja rośnie w (−∞;−1)U(−1;0) , a funkcja maleje w (0;1)U(1;+∞) czy zapis: funkcja rośnie w (−∞;0) \ {−1} funkcja maleje w (0;+∞) \ {1} będzie równoważny?

wredulus_pospolitus: zanim zrobisz pochodną ... przekształć funkcję:

	x2 + 3		x2 − 1 + 4		4
f(x) =		=		= 1 +
	x2−1		x2−1		x2−1

'ładniejsza' pochodna wychodzi

wredulus_pospolitus: a raczej ... 'łatwiejsza do policzenia'

Jerzy:

	1
Np: funkcja f(x) =		jest malejąca w przedziałach (−∞,0) oraz (0,∞) , a nie w całej
	x

dziedzinie.

ICSP: jakim cudem funkcja ma rosnąć w x ∊ (− ∞ ; −1) ∪ (−1 ; 0) skoro dla x < −1 wartości ma dodatnie a dla −1 < x < 0 wartości ma ujemne? Wiesz w ogóle co oznacza, ze funkcja jest rosnąca?

Jerzy:

wredulus_pospolitus: zapis: f↗ w (−∞, 0) \ {−1} nie jest równoznaczny z zapisem f↗ w (−∞, −1) oraz w (−1,0) ze względu na to asymptotę pionową x = −1 jakbyś policzył granice dla x−> −1 to byś zauważył (co można także wydedukować z monotoniczności funkcji), że: lim_{x−> −1⁻} f(x) = + ∞ lim_{x−> −1⁺} f(x) = − ∞ związku z tym ... śmiem twierdzić, że f(−1.000000000001) > f(−0.99999999999) co oznacza, że nie jest prawdą, że funkcja rośnie na przedziale (−1.000000001 ; −0.99999999) \ {−1}

wredulus_pospolitus: Z tego powodu NIGDY nie podaje się (przy monotoniczności) sumy przedziałów, tylko je się rozdziela i pisze, że funkcja (osobno) rośnie w każdym z nich. Jedyny wyjątek jaki można zrobić, to w momencie gdy mamy z f'(x) jakiś punkt przegięcia (np. f(x) = x³ −> f'(x) = 3x² −−−> x = 0 jest punktem przegięcia) ... wtedy można połączyć przedziały i wrzucić punkt przegięcie

salamandra: @ICSP, a co niby robi w przedziale (−1;0)?

wredulus_pospolitus: salamndra funkcja rośnie w przedziale (−∞ ; −1) funkcja rośnie w przedziale (−1 ; 0) ale funkcja NIE ROŚNIE w przedziale (−∞;−1) u (−1 ; 0) co Ci pokazałem o 12:21

salamandra:

	1
czyli "u" oznaczałoby, że funkcja przyjmuje wartości większe dla np. −		, niż dla −2?
	2

wredulus_pospolitus: dokładnie

wredulus_pospolitus: bo zapis (−∞;−1) u (−1 ; 0) oznacza, że traktuje to jako JEDEN zbiór i w całości w tym zbiorze zachodzi: x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂) (co jest definicją funkcji rosnącej)

wredulus_pospolitus: dlatego zapis: funkcja rośnie w (−∞;−1) u (−1 ; 0) oraz funkcja rośnie w (−∞;−1), w (−1 ; 0) to dwa całkowicie różne zapisy −−− pierwszy w 99% przypadków będzie błędny ... drugi jest poprawny (przy założeniu że poprawnie policzona pochodna i takie tam)

salamandra: własnie o to było moje docelowe pytanie − myślałem, że takie coś tylko ma miejsce, gdy napiszę że rośnie w R \ {−1}

wredulus_pospolitus: No to już wiesz, że nie. 'zsumować' przedziały mógłbyś np. dla takiej funkcji:

	x*(x2−1)
f(x) =
	x2−1

Funkcja taka będzie rosnąca w przedziale R \ {−1 ; 1} albo jak wolisz (−∞ ; −1) u (−1 ; 1) u (1 ; +∞)

salamandra: A dla bezpieczeństwa mógłbym rozbić na dwa przedziały ze spójnikiem „w”?

ABC: najbezpieczniej pisz : funkcja jest rosnąca w każdym z przedziałów , i oddzielaj przecinkiem

wredulus_pospolitus: Jeżeli w treści masz: 'sprawdź monotoniczność' lub 'podaj przedziały monotoniczności' ... tak Jeżeli jednak treść zadania jest taka jak tutaj: 'podaj MAKSYMALNE przedziały monotoniczności' to trzeba podać maksymalne możliwe przedziały i wtedy zapis: rośnie w (−∞ ; −1), w (−1 ; 1), w (1 ; +∞) no raczej poprawną odpowiedzią by nie było −−−− ale mocno wątpię by coś takiego trafiło się na maturze ( na maturze nie ma zadań 'podchwytliwych' )