kombinatoryka Kasia: Na stół o wymarach 50cm×70cm podzielony na równe prostokątne trójkąty o ramionach równych 10cm pada moneta o promieniu 1cm. Ile wynosi prawdopodobieństwo, że moneta nie przetnie żadnego boku trójkąta? Ma ktoś jakiś pomysł? Chociażby na to, co to znaczy że moneta "przecina" bok trójkąta.

a7: jeśli chodzi o przecinanie boku trójkąta to chodzi chyba o to, że moneta nie upadnie na żaden bok trójkąta

a7:

a7: stół ma powierzchnię 50*70=3500cm², ale powierzchni na którą może upaść moneta jest o 1cm mniej od każdego brzegu trojkąta czyli.....

a7: albo x cm mniej

a7: chyba 2 cm mniej czyli pole na które może spaść moneta to 1/2*6*6=18 razy 70 trójkątów=1260cm²

	1260		36		9
P(A)=		=		=
	3500		100		25

a7:

olek: A skąd wzięło się tam 6? Pole tego zielonego trójkąta powinno być mniejsze o dokładnie 2 cm względem każdej krawędzi Trzeba policzyć pole zielonego trójkąta trójkąta, pomnożyć razy 35 i obliczyć stosunek otrzymanego pola do całości.

Bleee: Jeśli mówiąc o tym gdzie ma spaść moneta będziemy mówić jako o miejscu gdzie spadnie SRODEK tejże momenty to rysunek @a7 jest prawie dobry − − − odejmujemy wtedy po 1 cm (promień monety) z każdego brzegu trójkąta. Otrzymujemy mniejszy trójkąt. Wiemy, że jeżeli moneta spadnie tak że jej środek będzie wewnątrz tegoż zielonego trójkąta tmoneta nie przetnie żadnego boku czarnego trójkąta, jeżeli środek będzie na zielonej linii, to także moneta nie przecina (tylko się styka) z bokiem czarnego trójkąta. Prawdopodobieństwo to będzie pole zielone podzielone przez pole czarnego trójkąta.

Bleee: @a7 pomijając fakt przesuwania przez Ciebie boków o 2 cm, a nie o 1cm (początkowa myśl Twoja była dobra) − − − bok zielonego trójkąta w Twoim przypapadku będzie mniejszy niż 6 cm

Kasia: Ma ktoś jakiś pomysł? Próbowałam robić tak jak mówił a7 ale wynik nie wychodził prawdopodobny.

wredulus_pospolitus: oblicz pole zielonego trójkąta

Kasia: Pole zielonego trójkąta to:

(8−√2)2
	= 33− 8√2
2

Kasia: Co dalej

a7: moim zdaniem jest tak jak mówiłam (00:48) tylko źle policzyłam trójkąt mamy trzy trapezy których suma pól jest równa polu trójkąta o boku 10 minus pole trójkąta o boku x

2*(10+x)		10√2+x√2
	*2+		*2=1/2*10*10−1/2*x2
2		2

x²+x(4+2√2)+20√2−60=0 Δ=264−64√2=(16−2√2)² stąd x wychodzi x=6−2√2 1/2*x²=44−24√2

	(44−24√2)*75
P(A)=		≈0,21557
	3500

a7: trzeba od brzegu odjąć średnicę, a nie promień gdyż chodzi, moim zdaniem, o to aby moneta nie upadła na boki trójkątów

wredulus_pospolitus: @a7 −−− co prezentuje sobą zielony trójkąt

wredulus_pospolitus: u ciebie (przy założeniu 'obcinana' 2cm) x = 10 − 2 − 2√2 = 2(4 − √2)

Kasia: A w końcu powinniśmy obciąć cm czy 2cm?

a7: no właśnie jeszcze trzeba to uzgodnić

a7: moim zdaniem 2 cm

wredulus_pospolitus: @a7 −−− ponownie się zapytam −−− CO OZNACZA ZIELONY TRÓJKĄT

Kasia: Myślę, że a7 za zielony trójkąt bierze pole, na które może spasć moneta tak aby nie przeciąć krawędzi trójkąta, bo jakby moneta ma średnicę 2 cm więc jeśli upadnie o odległość mniejszą niż 2cm od krawędzi to ją przetnie, więc pole na któe może spaść moneta musi być oddalone o minium 2cm, tak myślę

a7: tak, Kasia dobrze rozumie mój sposób myślenia

wredulus_pospolitus: @a7 −−− czyli rozumiem, że u Ciebie −−− jakakolwiek część monety musi być WEWNĄTRZ zielonego trójkąta (bądź moneta się styka z bokiem) Tak

wredulus_pospolitus: Jeżeli tak to mamy dwa problemy: 1) Licząc w ten sposób odrzucasz część możliwych miejsc upadku monety (patrz rysunek) 2) Istotą zadania tego typu jest upewnienie się, że prawdopodobieństwo w każdym punkcie jest jednakowe ... Ty podając trójkąt w którym KTÓRAKOLWIEK część monety się znajduje wewnątrz niweczysz to. Najłatwiej (i także najbardziej będzie to logiczne dla autorki) rozpatrywać gdzie znajdzie się ŚRODEK monety. W ten sposób każde rzut monetą ma swoją 'unikalną' reprezentację w postaci punktu wewnątrz czarnego trójkąta prostokątnego. Moneta nie będzie przecinać boków czarnego trójkąta, jeżeli środek monety będzie oddalony o co najmniej r=1 od każdego z boków tegoż czarnego trójkąta. Dlatego budujemy zielony trójkąt jak mniejszy trójkąt o bokach oddalonych o r=1 od wyjściowego trójkąta.