Ekstremum funkcji Justyna: Znajdź ekstrema funkcji: z = x² + y², jeżeli x/a +y/b = 1, a > 0, b > 0 Jak się do czegoś takiego zabrać, ogólnie bym chyba wiedziała tylko nie wiem co z tym warunkiem zrobić

wredulus_pospolitus: z warunku wyznacza jedną ze zmiennych (np. 'y') i podstawiasz do wzoru z(x,y) otrzymujesz funkcję jednej zmiennej (w tym przypadku to będzie z(x) ) z dwoma parametrami (a,b). liczysz pochodną

Justyna: Znaczy ja to zawsze robiłam tak, że w tym przypadku byłoby z=x² + y² + q(x/a + y/b −1) potem 3 pochodne cząstkowe, z tego układ równań 2x + q/a =0 2y + q/b =0 x/a + y/b −1=0 i teraz też tak robiłam tylko nie wiem co dalej

Justyna: ale spróbuję wyznaczyć y z warunku

Justyna: I robiąc to wychodzi

dz		2(a2 x − ab2 + b2 x)
	=
dx		a2

Justyna: A robiąc poprzedni układ równań wychodzi

yb2 + ya2 − a2 b
	=0
a2 b

tylko co dalej?

Justyna:

	a2 b
y=
	a2 + b2

	a b2
x=
	a2 + b2

jc: 1=(x/a+y/b)²=[(x , y)*(1/a, 1/b)]²≤(x²+y²)(1/a²+1/b²) równość mamy dla (x,y)||(1/a,1/b) x=k/a, y=k/b, 1=x/a+y/b=k/a²+k/b², k=1/(1/a²+1/b²)=a²b²/(a²+b²) Czyli jest tak, jak napisałaś.

jc: Inne spojrzenie. z=x²+y² to kwadrat odległości punktu (x,y) od (0,0). Jaki punkt prostej x/a+y/b=1 będzie leżał najbliżej (0,0)? Idziemy prostopadłe od (0,0) w kierunku prostej. x=t/a, y=t/b, dalej tak samo, ja wyżej.