prosta w R^2 kasia: Czy prosta zanurzona w R² jest zbiorem domkniętym?

ABC: z normalną topologią od metryki euklidesowej? jest , bo jej dopełnienie otwarte

kasia: Tak. A jak wyglądałoby to dopełnienie?

ABC: dwie półpłaszczyzny

kasia: Dziękuję

WhiskeyTaster: Kasiu, zauważ, że jeśli wziąć dowolny punkt z prostej jako środek kuli w metryce euklidesowej, to dla dowolnego promienia taka kula wychodzi poza tę prostą. Tak to możesz sobie zwizualizować

kasia: WhiskeyTaster, wydaje mi się, że to za mało by stwierdzić domknietosc. To, że zbiór jest nieograniczony nie oznacza jeszcze , że jest domknięty lub otwarty.

Adamm: Możemy wziąć x → (exp(x), 0). Zanurzyliśmy prostą w R², ale nie jest ona domknięta w R².

WhiskeyTaster: Mamy zbiór A. Jeśli zbiór A jest otwarty, to dla każdego a ∊ A istnieje taki promień r > 0, że K(a, r) ⊂ A. Wobec tego prosta byłaby otwarta w R² z metryką euklidesową, gdyby dla każdego punktu należącego do prostej, kula o środku w dowolnym punkcie i jakimś promieniu zawierałaby się w tej prostej. A jak nietrudno sobie wyobrazić − tak nie jest. To tylko oczywiście jedno z rozumowań, jakie można przeprowadzić. Łatwiej powiedzieć tak, jak zasugerował ABC. Ja tu nic nie mówiłem o żadnej nieograniczoności

Adamm: To że nie jest otwarta, nie znaczy że jest domknięta

kasia: To, że możemy zamknąć coś w kuli świadczy o tym, że jest ograniczone. Zbiór nieograniczony może być także otwarty. Rozumiem, że chodziło Ci o to, że wtedy każdy punkt jest wewnętrzny, jednak przy zbiorze nieograniczonym chyba się to nie sprawdzi.

kasia: Oczywiście, że by się sprawdziło, gadam bzdury! Ale faktycznie jest tak, jak mówi Adamm. Jednak dziękuję wszystkim za pomoc i sympatyczną dyskusję!

WhiskeyTaster: No tak, możemy dostać zbiór ani domknięty, ani otwarty. Czyli w sumie najlepiej jest sprawdzać to poprzez dopełnienie, tak? Tylko co w przypadku, gdy otwartość, bądź domkniętość dopełnienia nie jest oczywista? Może troszkę dziwne pytanie, ale jak na razie jeszcze sporej wiedzy o tym nie mam

Adamm: Robisz tak jak uważasz że jest najlepiej