Określenie liczby ekstremów funkcji w zależności od parametru Shizzer:

	x − m
Określ liczbę ekstremów funkcji f(x) =		w zależności od wartości
	x2 − 2x − 3

parametru m. Policzyłem pochodną:

	−x2 + 2mx − 3m
f'(x) =
	(x2 − 2x − 3)2

Normalnie liczyłbym tutaj miejsca zerowe tej pochodnej i szkicowałbym sobie wykres tej pochodnej gdzieś na marginesie, żeby zobaczyć gdzie pochodna zmienia znak z "+" na "−" bądź z "−" na "+". Widziałbym wtedy ile istnieje ekstremów w zależności od parametru m. Dla funkcji kwadratowej i wielomianów było to do zrobienia, ale jak to zrobić jeśli pochodna jest funkcją homograficzną?

Shizzer: Spróbuję policzyć miejsca zerowe pochodnej i sprawdzić gdzie pochodna jest większa od 0 a gdzie mniejsza i może wywnioskuję ekstrema po wyznaczonych przedziałach

Jerzy: To nie ma znaczenia. Kiedy ułamek przyjmuje wartość 0 ?

ICSP: 1. Widzę, że nie znasz definicji homografi. 2. Brak dziedziny 3. mianownik jest zawsze dodani, więc jedyne czym się zajmujesz to licznik 4. W liczniku znajduje się funkcja kwadratowa, więc doskonale wiesz gdzie jest dodatnia gdzie ujemna. Jedyne na co musisz tak naprawdę uważać to przypadek gdy ekstremum ni będzie należało do dziedziny.

ICSP: i ta pochodna coś mi się nie podoba. Z całą pewnością będzie tam stała niezależna od m z iloczynu (x − m)'(x²−2x−3) Musisz to jeszcze raz przeliczyć

Shizzer: Policzyłem to zadanie jeszcze raz, ale jest ono dla mnie dość skomplikowane. Oczywiście D_f(x) = R \ {−1, 3} Wyznaczyłem pochodną raz jeszcze, myślę, że teraz już jest ok:

	−x2 + 2mx − 2m −3
f'(x) =
	(x2 − 2x − 3)

Tak powinienem to zadanie rozwiązać: 1. Wyznaczyć punkty podejrzane o ekstremum. 2. Zbadać dla jakich x f'(x) > 0 a dla jakich f'(x) < 0. 3. Porównać wynikowe przedziały z punktami podejrzanymi o ekstremum Zatrzymałem się jednak na 1. kroku: f'(x) = 0 −x² + 2mx − 2m − 3 = 0 Δ = 4m² − 8m − 12 Więc jedyne co mogę tutaj zrobić to wyznaczyć ILE będzie punktów podejrzanych o ekstremum w zależności od m. Skoro nie wiem jakie dokładnie są te punkty podejrzane o ekstremum to jak zbadać czy dla nich funkcja f(x) rzeczywiście to ekstremum osiągnie?

Shizzer: Gdyby f'(x) była np. funkcją kwadratową wtedy mając policzone, że dla danego m występują 2 miejsca zerowe mógłbym stwierdzić, że funkcja f(x) dla tych m posiada 2 ekstrema. Dobrze zrozumiałem, że w wyliczonej pochodnej ważny jest tutaj tylko licznik i mogę ją rozpatrywać jak funkcję kwadratową? Jeśli tak jest to nie mam pojęcia dlaczego

f123: A jak normalnie szukasz ekstremow funkcji?

Shizzer: Dobra myślę, że już zrozumiałem:

	x − m
f(x) =		⇒ Df(x) = R \ {−1 , 3}
	(x + 1)(x − 3)

	−x2 + 2mx − 2m − 3
f'(x) =
	(x2 − 2x − 3)2

Mianownik jest dodatni dla x ∊ R \ {−1, 3} więc wystarczy zająć się licznikiem. f'(x) > 0 gdy −x² + 2mx − 2m − 3 > 0 f'(x) < 0 gdy −x² + 2mx − 2m − 3 < 0 Wyznaczam punkty podejrzane o ekstremum: f'(x) = 0 −x² + 2mx − 2m − 3 = 0 Δ = 4m² − 8m − 12 Δ > 0 −> 2 punkty podejrzane o ekstremum i 2 ekstrema (zajmuję się tylko licznikiem) Δ ≤ 0 −> brak ekstremów Δ ≥ 0 dla m ∊ (−∞, −1) ∪ (3, ∞) Δ ≤ 0 dla m ∊ <−1, 3> dla m ∊ (−∞, −1) ∪ (3, ∞) 2 ekstrema dla m ∊ <−1, 3> brak ekstremów