Trójkąt równoboczny julqa: Promień okręgu wpisanego w trójkąt jest równy 1, a długości wysokości tego trójkąta są liczbami całkowitymi. Pokaż, że ten trójkąt jest równoboczny. Jakiś pomysł na takie zadanie?

a7: podany trójkąt nie może być prostokątny gdyż musiałby mieć wszystkie boki będące liczbami całkowitymi(3,4,5) to wtedy trzecia wysokość nie byłaby liczbą całkowitą ?

a7: h_min>2r i h jest calkowite czyli h_min=3 gdyby h było równe 4, 5, 6 czy więcej np w trójkącie równoramiennym to pozostałe wysokości byłyby mniejsze niż 3, a więc nie byłyby liczbami całkowitymi podobnie w każdym innym trójkącie ostrokątnym przynajmniej jedna wysokość byłaby mniejsza niż trzy, a więc nie całkowita jeśli chodzi o trójkąt rozwartokątny to wysokość z wierzchołka kąta rozwartego nie spełniałaby warunków zadania, a więc warunki zadania spełnia tylko trójkąt równoboczny c.n.w. ?

Eta: Łatwo wykazać,że w każdym trójkącie zachodzi równość:

1		1		1		1
	+		+		=
ha		hb		hc		r

W zadaniu r=1 i h_a,h_b,h_c −− całkowite

	1		1		1
		+		+		=1
	ha		hb		hc

	1		1		1
to ha=hc=hb=3 bo (		+		+		=1
	3		3		3

zatem taki trójkąt jest równoboczny o boku "a" h=3, a=2√3