Monotoniczność funkcji, pochodne i ciąg geometryczny Shizzer: Ciąg (a, b, c) jest geometryczny i a > 0. Wykaż, że funkcja f określona wzorem f(x) = x * (ax² + bx + c) jest rosnąca w zbiorze liczb rzeczywistych. Chciałbym, żeby ktoś sprawdził czy moje rozwiązanie tego zadania jest dobre. Rozwiązanie: Funkcja f(x) będzie rosnąca w przedziale x ∊ R wtedy i tylko wtedy gdy f'(x) > 0 dla x ∊ R. f'(x) = 3ax² + 2bx + c f'(x) > 0 dla x ∊ R gdy Δ < 0, ponieważ a > 0. Δ = 4b² − 12ac = 4(b² − 3ac) Z def. ciągu geometrycznego: b² = ac Δ = 4(ac − 3ac) = −8ac −8ac < 0 / : (−8a) (a > 0 z warunku zadania więc zmieniam znak nierówności) c > 0 ⇒ −8ac < 0 ⇒ Δ < 0 dla dowolnego x ∊ R ⇒ f'(x) > 0 dla dowolnego x ∊ R c.n.w Jest ok i do przyjęcia?

ICSP: −8ac < 0 Skąd wiesz, że to jest mniejsze od 0?

janek191: a > 0 b = aq c = aq² itd.

Shizzer: Pomieszało mi się. Byłoby to większe od 0, ale tylko wtedy gdy c > 0, a tego nie wiadomo. Spróbuję innego podejścia. Dziękuję za sprawdzenie

ICSP: c = aq² > 0 gdyż a > 0 i q² > 0 Sprawdź co się dzieje gdy q = 0.

f123: @ICSP my wiemy, ze c >= 0

Shizzer: Δ = −8ac Δ musi być mniejsza bądź równa 0 dla dowolnych a, b, c. a > 0 b = aq c = aq² ⇒ c > 0 dla q ≠ 0, bo a > 0 i q² > 0 Więc −8ac < 0 dla q ≠ 0 −8ac = 0 dla q = 0 Zatem Δ <= 0 dla dowolnych a, b, c.

ICSP: teraz dobrze. Na przyszłość proszę nie używać tezy w dowodzie.