dowod f123: Wykaz, ze x⁸ − x⁵ + x² − x + 1 > 0 jest prawdziwe dla kazdego x ∊ R

Saizou : 3 linijki x⁸−x⁵+x²−x+1 =

	1		1		3
(x4)2 − 2•		•x4•x +		•x2 +		x2 − x + 1=
	2		4		4

	1		1
[x4 −		x]2 +		(3x2−4x+4)=
	2		4

	1		1
[x4−		x]2+		[(x−2)2+2x2] > 0
	2		4

mr t:

PW: Kto nie wpadnie na taki pomysł, może udowodnić "etapami". Po pierwsze nierówność jest prawdziwa dla x ≤ 0 (oczywiste) Po drugie nierówność ma postać x⁵(x³ −1) + x(x−1) +1 > 0, jest więc oczywista dla x ≥ 1. Po trzecie dla dowolnej x jest

	3
x2 − x + 1 ≥
	4

(własności funkcji kwadratowej). Mamy więc dla x∊(0, 1) na podstawie nierówności między średnimi x⁸ + (x² − x +1) ≥ 2√x⁸•3/4 = √3x⁴ > x⁵ (ostatnia nierówność jest równoważna nierówności √3 > x oczywistej dla x∊(0, 1). To kończy dowód.

Kra:

	x		x		x2
x8−x5+x2−x+1=(x4−		)2+(		−1)2+		>0
	2		2		2