Szeregi - kryterium porównawcze Olek: Stosując kryterium porównawcze zbadaj zbieżność szeregu:

	1
d) ∑
	(2n + 1)!

nad sigmą jest ∞, pod n = 1 (wybaczcie za taki zapis ) Czy mogę zrobić to tak : (2n+1)! ≥ 2n²

1		1
	≤
(2n+1)!		2n2

	1		1		1
∑		jest zbieżny, ponieważ		*∑		, 2>1 więc jest zbieżny
	2n2		2		n2

	1		1		1		1
Ponieważ ∑		≤ ∑		oraz ∑		jest zbieżny to ∑		jest
	(2n+1)!		2n2		2n2		(2n+1)!

zbieżny

wredulus_pospolitus: jasne że możesz taka jedna uwaga ... zapewne chciałeś oszacować poprzez (2n)² ale to bez różnicy

jc: Nie jest dobrze. Nierówność

	1		1
∑		≤ ∑
	(2n+1)!		2n2

będziesz mógł napisać dopiero, gdy wykażesz zbieżność szeregu

	1
∑
	(2n+1)!

−−−− Prościej (2n+1)! > 2ⁿ.

Olek:

	1		1
Nie rozumiem, właśnie chce wykazać, że ∑		na podstawie tego, że ∑		jest
	(2n+1)!		(2n)2

zbieżny

jc: Jak brzmi kryterium porównawcze?

Olek: Jeżeli dla prawie wszystkich n zachodzi a_n≤b_w, to ze zbieżności szeregu b_n wynika zbieżność szeregu a_n z rozbieżności szeregu a_n wynika rozbieżność szeregu b_n

Olek:

	1		1
i chcę tu skorzystać z tego, że bn =		jest zbieżny i ⇒ an =		jest
	(2n)2		(2n+1)!

zbieżny. Nie wiem robię z tego pierwsze zadanie i próbuję wzorować się na przykładzie z wykładu.

Olek: Chyba rozumiem, że pomyliłem szeregi z ciągami?

jc: Co masz napisać?

	1		1		1		1
∑		jest zbieżny, bo		<		, a szereg ∑		jest zbieżny.
	(2n+1)!		(2n+1)!		n2		n2

Możesz też napisać

1		1		1		1
	<		i szereg ∑		jest zbieżny, więc szereg ∑		jest
(2n+1)!		n2		n2		(2n+1)!

zbieżny. Nigdzie nie stawiasz nierówności pomiędzy szeregami!

Olek: To tak spróbuję jeszcze raz:

	1
∑
	(2n+1)!

(2n+1)! ≥ 2ⁿ

1		1
	≤
(2n+1)!		2n

	1
∑		− jest zbieżny ponieważ jest to ciąg geometryczny o ilorazie równym {1}{2n}
	2n

	1
Na mocy kryterium porównawczego ∑		jest zbieżny.
	(2n+1)!

Olek: Dobrze, uff dobrze, że napisał mi Pan, że tak się nie robi, bo zrobiłem tak we wszystkich podpunktach

Olek: A teraz mam takie pytanie:

	1
mam taki szereg ∑∞ (przy n=1)		dlaczego jest on rozbieżny?
	n*n√n

	1
Korzystając z takiego warunku dla szeregu harmonicznego ∑∞ (przy n=1)		:
	nα

jeśli α∊(0,1> to rozbieżny jeśli α>1 to zbieżny

	1		n+1
i tutaj mam ∑		czyli ∀n		> 1 czyli powinno być, że ciąg jest
	nn+1n		n

zbieżny

Olek:

jc: x^1/x ≤ e^1/e = C

1		1
	≥		, wniosek?
n*n√n		Cn

Olek: Że jest rozbieżny?

Olek: Ale nie rozumiem dlaczego ta definicja tu nie działa

jc: Sprawdź sobie, że n√n < 2. Jeśli weźmiesz a>1, to n^a będzie rosło w nieskończoność.

Olek:

	1		1
Czyli mogę zrobić np ze		>		i z tego wynika ze jest rozbieżny?
	n*n√n		2n

jc: Tak