algebra adal: Hej, mam pytanie czy dobrze myślę odnośnie tego przykładu. Polecenie brzmi: Znajdź wszystkie liczby rzeczywiste x, takie że √2x²−4x+23 + √5x²−10x+9 = 8 +2x −x² Nie potrafię tego uprościć algebraicznie. Wrzucone do wolframa daje mi dwa pierwiastki niewymierne (około 2 i około −1/2). Czy w takim razię mogę uznać, że to równanie nie ma pierwiastków wymiernych i rozwiązać je analityczne np. metodą newtona?

ABC: wygląda że mogłaby pomóc niewiadoma pomocniczą t=x²−2x+1 , ale sprawdź sam bo tylko rzuciłem okiem

Edek z fabryki kredek: 2x²−4x+23=2(x²−2x+1)+21=2t+21 5x²−10x+9=5(x²−2x+1)+4=5t+4 8+2x−x²=−x²+2x−1+9=−t+9 √2t+21+√5t+4=−t+9 teraz metodą analizy starożytnych , podnieść do kwadratu itd.

adal: Dalej nie wiem jak to ruszyć, podniesienie do kwadratu daje niewiele tak samo grupowanie.

WhiskeyTaster: Problemem jest to, że na koniec dostajemy wielomian stopnia czwartego, bo całe wyrażenie trzeba dwa razy podnieść do kwadratu. Jeszcze się nie nauczyłem metody, więc na ten moment nie pomogę. Może Mariusz tu zajrzy i rozwiąże

PW: Najpierw powinno być rutynowe ustalenie dziedziny − (1) i (2), zaś (3) pozwala ograniczyć przedział, w którym mogą być rozwiązania. (1) 2x²−4x+23 ≥ 0 Δ = 16 −4•2•23 < 0 − wszystkie x∊R są rozwiazaniami (1) tzn. pierwiastek istnieje dla wszystkich x. (2) 5x² − 10x + 9 ≥ 0 Δ = 100 − 4•5•9 < 0 − jak wyżej (3) − x² + 2x + 8 > 0 (bo prawa strona niedodatnia oznacza brak rozwiązań). Δ = 4 − 4•(−1)•8 = 4•9, √Δ = 6. Nierówność (3) jest spełniona dla x∊<x₁, x₂>, gdzie

	−2+6
x1 =		= −2
	2•(−1)

	−2−6
x2 =		= 4.
	2•(−1)

Tak więc równanie warto rozwiązywać tylko na przedziale <−2, 4>. Teraz pytanie − masz to rozwiązać dokładnie, czy metodami przybliżonymi?

adal: Właśnie nie wiem, polecenie brzmi po prostu znajdź wszystkie liczby rzeczywiste x. Sam męczyłem się trochę z tym równianiem metodą ferrari (podniesienie dwukrotne do kwadratu). Doszedłem do momentu: (x²−25x+y/2)²=−72x² + 3252x−2800 + x²y − 25 xy + y²/4 gdzie podstawiłem c= y/2 uzależniając równanie od y muszę wyznaczyć kiledy Δ = 0 żeby zwinąć równanie do formy iloczynowej, czyli b²=4ac, ale musiałbym rozwiązać równanie : (3252−25y)²=4(y−72)(y²/4−2800) a tego już nie potrafię zrobić próbowałem wzorami cardano ale ono jest zbyt skomplikowanie i nie mogłem go uprościć.