Pierwiastek rzeczywisty Różniczka: Dana jest funkcja różniczkowalna f(x)'>f(x) dla wszystkich x∊R oraz lim_x→(−∞)f(x)=−∞. Udowodnić, że f(x) ma co najwyżej jeden pierwiastek rzeczywisty. Myślałem o f(x)'−f(x)>0, jednak niewiele pomaga.

Bleee: Skoro lim{x−> − ∞) f(x) = − ∞ to aby mieć f(x₀) = 0 to przynajmniej na części przedziału (−∞, x₀) musi być prawda, że f'(x) > 0. Jezeli już mamy to miejsce zerowe, x₀ to wiemy że f'(x₀) > 0 czyli funkcja f(x) będzie dalej rosnąć, aby funkcja (x) miała kolejny pierwiastek to funkcja ta musiałaby zacząć malec, ale wtedy f'(x) <0 a przecież wiemy że f(x) > 0 I mamy sprzeczność.

Różniczka: Dlaczego musi być prawda, że f'(x)>0?

wredulus_pospolitus: patrzą 'od lewej strony' (od x −> −∞) f(x) 'startuje' od −∞ aby zaszło f(x₀) = 0 to f(x) musi być funkcją rosnącą 'zaraz przed' x₀ w takim razie f'(x) > 0 ... no i w końcu mamy punkt x = x_o w którym zachodzi f(x_o) = 0 .... skoro ma być spełniona nierówność f'(x) > f(x) dla wszystkiech x ... to także dla x = x_o ... więc f'(x_o) > f(x_o) = 0 <−−− stąd to mamy