równoległobok viki: W równoległoboku o bokach długości 3 i 7, jedna z przekątnych ma długość 6. Oblicz cosinus kąta między przekątnymi tego równoległoboku.
28 kwi 14:54
Eta: rysunek e=6, f= 4x, x>0 ΔADS równoramienny to..................⇒ oznaczenia na rys. W każdym równoległoboku zachodzi równość f2+e2=2(a2+b2) 16x2+36=2*58 ⇒ x=5 to cosα= 5/3 ============
28 kwi 15:15
a7: rysunekz tw. cosinusów 72=32+62−2*3*6*cosα cosα=−1/9 cosβ= (cos(90−α/2)=sin(α/2) sinα=1−1/81=45/9 sinα=2sin(α/2)cos(α/2) sin(α/2)=sinα/(2cos(α/2)) cosα=cos2(α/2)−1 cos(α/2)=2/3 cosβ= sin(α/2)=5/3 ?
28 kwi 15:18
ford: rysunek Obliczamy cos kąta ADS z tw. cosinusów |AB|2 = |AD|2 + |DB|2 − 2*|AD|*|DB|*cos|∡ADB| 72 = 32 + 62 − 2*3*6*cos|∡ADB|
 32+62−72 
cos|∡ADB| =

 36 
 1 
cos|∡ADB| = −

 9 
Ujemny cosinus ∡ADB oznacza że ∡ADB jest rozwarty czyli |∡ADB|>90o Pole ΔABD ze wzoru Herona a = 3, b = 6, c = 7
 a+b+c 
p =

= 8
 2 
PABD = 8(8−3)(8−6)(8−7) = 80 = 45 |DB| = 6 oraz |DS| = |SB|, więc |DS| = |SB| = 3 PASD = PASB więc PASD = 25 Kąt ADS = 180o−2α
 1 
PASD =

*3*3*sin(180o−2α)
 2 
 9 
25 =

*sin(2α)
 2 
 45 
sin(2α) =

 9 
 45 
2sinα*cosα =

 9 
 25 
{sinα*cosα =

 9 
{sin2α + cos2α = 1
 25 
{sinα =

 9cosα 
{sin2α + cos2α = 1
 25 
(

)2 + cos2α = 1
 9cosα 
20 

+ cos2α = 1
81cos2α 
cos2α = x; x∊(0;1)
20 

+ x = 1 |*x
81x 
20 

+ x2 = x
81 
 20 
x2 − x +

= 0
 81 
81x2 − 81x + 20 = 0 delta...
 4 5 
x =

∨ x =

 9 9 
 2 2 5 5 
cosα =

∨ cosα = −

∨ cosα =

∨ cosα = −

 3 3 3 3 
α musi być kątem ostrym, więc ujemne cosα odrzucamy Co więcej, kąt ADS jest rozwarty, więc musi być α<45o bo inaczej suma miar kątów w ΔASD nie będzie wynosić 180o
 2 
cosα =

= 0,66666... → α ≈ 48o (odrzucamy)
 3 
 5 
cosα =

≈ 0,745 → α ≈ 42o (spełnia założenie α<45o)
 3 
 5 
Odp. cosα =

 3 
28 kwi 15:28
Eta: Omg emotka
28 kwi 15:30
ford: Nie znałem tego f2+e2 = 2(a2+b2) i się rozpisałem emotka
28 kwi 15:33
Eta: Przed pandemią można było jechać z Gdańska do Sopotu przez Rzym I tak właśnie ford .... pojechałeś emotka
28 kwi 15:33
ford: Na szczęście we Włoszech już pomału mija ten wirus emotka
28 kwi 15:34
Eta: emotka
28 kwi 15:35
misio: Eta, głupie pytanie, ale czy masz może jeszcze więcej takich podobnych, pomocnych wzorów jak ten f2 + e2 = 2a2 + 2b2, dla innych figur? Nie słyszałem nigdy o takim skrócie, a zaraz rozszerzona matura...
8 cze 21:26