równoległobok viki: W równoległoboku o bokach długości 3 i 7, jedna z przekątnych ma długość 6. Oblicz cosinus kąta między przekątnymi tego równoległoboku.

Eta: e=6, f= 4x, x>0 ΔADS równoramienny to..................⇒ oznaczenia na rys. W każdym równoległoboku zachodzi równość f²+e²=2(a²+b²) 16x²+36=2*58 ⇒ x=√5 to cosα= √5/3 ============

a7: z tw. cosinusów 7²=3²+6²−2*3*6*cosα cosα=−1/9 cosβ= (cos(90−α/2)=sin(α/2) sinα=√1−1/81=4√5/9 sinα=2sin(α/2)cos(α/2) sin(α/2)=sinα/(2cos(α/2)) cosα=cos²(α/2)−1 cos(α/2)=2/3 cosβ= sin(α/2)=√5/3 ?

ford: Obliczamy cos kąta ADS z tw. cosinusów |AB|² = |AD|² + |DB|² − 2*|AD|*|DB|*cos|∡ADB| 7² = 3² + 6² − 2*3*6*cos|∡ADB|

	32+62−72
cos|∡ADB| =
	36

	1
cos|∡ADB| = −
	9

Ujemny cosinus ∡ADB oznacza że ∡ADB jest rozwarty czyli |∡ADB|>90^o Pole ΔABD ze wzoru Herona a = 3, b = 6, c = 7

	a+b+c
p =		= 8
	2

P_ABD = √8(8−3)(8−6)(8−7) = √80 = 4√5 |DB| = 6 oraz |DS| = |SB|, więc |DS| = |SB| = 3 P_ASD = P_ASB więc P_ASD = 2√5 Kąt ADS = 180^o−2α

	1
PASD =		*3*3*sin(180o−2α)
	2

	9
2√5 =		*sin(2α)
	2

	4√5
sin(2α) =
	9

	4√5
2sinα*cosα =
	9

	2√5
{sinα*cosα =
	9

{sin²α + cos²α = 1

	2√5
{sinα =
	9cosα

{sin²α + cos²α = 1

	2√5
(		)2 + cos2α = 1
	9cosα

20
	+ cos2α = 1
81cos2α

cos²α = x; x∊(0;1)

20
	+ x = 1 |*x
81x

20
	+ x2 = x
81

	20
x2 − x +		= 0
	81

81x² − 81x + 20 = 0 delta...

	4		5
x =		∨ x =
	9		9

	2		2		√5		√5
cosα =		∨ cosα = −		∨ cosα =		∨ cosα = −
	3		3		3		3

α musi być kątem ostrym, więc ujemne cosα odrzucamy Co więcej, kąt ADS jest rozwarty, więc musi być α<45^o bo inaczej suma miar kątów w ΔASD nie będzie wynosić 180^o

	2
cosα =		= 0,66666... → α ≈ 48o (odrzucamy)
	3

	√5
cosα =		≈ 0,745 → α ≈ 42o (spełnia założenie α<45o)
	3

	√5
Odp. cosα =
	3

Eta: Omg

ford: Nie znałem tego f²+e² = 2(a²+b²) i się rozpisałem

Eta: Przed pandemią można było jechać z Gdańska do Sopotu przez Rzym I tak właśnie ford .... pojechałeś

ford: Na szczęście we Włoszech już pomału mija ten wirus

Eta:

misio: Eta, głupie pytanie, ale czy masz może jeszcze więcej takich podobnych, pomocnych wzorów jak ten f² + e² = 2a² + 2b², dla innych figur? Nie słyszałem nigdy o takim skrócie, a zaraz rozszerzona matura...