Liczby rzeczywiste - zadania dowodowe Fiflak: Cześć, mam takie dwa zadanie dowodowe i dość opornie mi one idą, dlatego zwracam się do was z prośba o jakąś wskazówkę 1.Niech k będzie pewną liczbą naturalną dodatnią. Wykaż, że iloczyn liczby k i czterech kolejnych liczb naturalnych następujących po k jest podzielny przez 24 oraz że w zapisie dziesiętnym otrzymanego iloczynu występuje co najmniej jedno zero. Z własności iloczynu kolejnych liczb naturalnych możemy wykazać, że ta liczba jest podzielna przez 24 ale jak wykazać ten drugi warunek? 2. Wykaż, że liczba 2ⁿ*3²ⁿ−2³ⁿ − jest dodatnią liczbą naturalną podzielną przez 10. Tutaj doszedłem do postaci 18ⁿ−8ⁿ i nie bardzo widzę sposób na udowodnienie podzielności przez 10.

Mariusz: Masz pięć kolejnych liczb więc co najmniej dwie będą parzyste i jedna podzielna przez pięć 2. A może indukcja ?

Fiflak: Dzięki wielkie, właśnie taki sposób rozumowania chodził mi po głowie ale nie byłem pewny czy jest dobry, a co do drugiego to jeszcze nie miałem dowodzenia za pomocą indukcji matematycznej niestety i szukam innego sposobu

Eta: 2/ 2ⁿ*9ⁿ−8ⁿ = 2ⁿ( 9ⁿ−4ⁿ)= 2ⁿ[(3ⁿ)²−(2ⁿ)²] = = 2ⁿ[(3ⁿ−2ⁿ)(3ⁿ+2ⁿ)] i skorzystaj ze wzorów aⁿ−bⁿ= (a−b)(.............) i a²+bⁿ=(a+b)(.........) ............................ L= 2*1*5 (..............)

Mariusz: Dla n=0 18⁰−8⁰=0|10 Zakładamy że dla n=k 18^k−8^k|10 Dla n=k+1 18^k+1−8^k+1=18*18^k−8*8^k 18(18^k−8^k)+18*8^k−8*8^k 18(18^k−8^k)+10*8^k 18^k−8^k jest podzielne przez 10 z założenia indukcyjnego 10*8^k jest podzielne przez 10 bo jest iloczynem liczby 10 i liczby całkowitej zatem 18(18^k−8^k)+10*8^k jest podzielne przez 10

ABC: Eta ale przecież 18ⁿ−8ⁿ=(18−8) (coś tam)=10 (coś tam) i po ptakach

Mariusz: Indukcja wyglądałaby tak jak wyżej ale jeśli jej jeszcze nie miałeś to skorzystaj z propozycji Ety

Fiflak: Dziękuje wam, teraz już nie powinienem mieć problemów z tym zadaniem

Eta: aⁿ−bⁿ= 18ⁿ−8ⁿ=(18−8)(..........) Święto prawda