wielomian chudzik: Dany jest wielomian W(x) = x³ + ax² + bx +c który ma trzy rzeczywiste rozwiązania z których co najmniej dwa są różne. Wykaż że a² +b² +18c > 0.

piotr: podstawiając c = p²q (x−p)²(x−q) = −p² q + p² x + 2 p q x − 2 p x² − q x² + x³ ⇒ a = − 2 p − q b = p² + 2 p q itd..

chudzik: Nadal nie wiem niestety

chudzik: Po podstawieniu wyszło p⁴ + 4 p³ q + 4 p² q² + 18 p² q + 4 p² + 4 p q + q²>0

chudzik: I co dalej?

PW: piotrze, rozwiązujesz przy założeniu :co najmniej dwa są jednakowe" − w rozkładzie wielomianu piszesz przecież (x − p)²(x − q), a to jest wbrew treści zadania (mogą być trzy różne).

QQ: Skąd to podstawienie c = p²q?

WhiskeyTaster: Prosty wniosek. Zauważ, że dla wielomianu trzeciego stopnia, jeśli zapisać go w formie x³ + ax² + bx + c = (x − p)(x − q)(x − r), to ostatni wyraz będzie niczym innym niż iloczynem pqr. Wymnóż to sobie i zobacz