zadanie optymalizacyjne jaros: rysunekOblicz największe możliwe pole powierzchni bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o
 42 
objętości równej

.
 3 
Zadanie chciałbym rozwiązać sam a tutaj przychodzę w sprawie konsultacji czy moja idea jest dobra. Więc;
 a 
1) Zauważamy, że |OG| =

 2 
 1 
2) Wyznaczam pole do oraz jego wzór, który będę chciał optymalizować: Pb =

* hb * a
 2 
 42 1 
3) Ze wzoru na objętość wyznaczam równanie

=

*a2*H
 3 3 
 42 
4) H =

 a2 
 a 
4) wyznaczam hb z tw. Pitagorasa: więc hb = H +

 2 
 1 42 a 
Otrzymuje funkcje pola bocznego =

*

+

* a
 2 a2 2 
Pod ostanim funkcja ma pierwiastek i teraz mam takie pytanie, czy to co napisałem ma sens?
27 kwi 22:10
salamandra:
 a 
w 4) powinno być hb=H+

 4 
27 kwi 22:46
salamandra:
 a 
a raczej nawet H2+

 4 
27 kwi 22:48
jaros: a tak racja, ale optymalizował byś tą funkcje już?
27 kwi 22:49
jaros: O ile coś takiego na naszym poziomie jest możliwe bo nie wiem czy nie powstaje funkcja złożona
27 kwi 22:50
f123: Co za problem wziac wyrazenie pod pierwiastkiem i przyjac to jako funkcja zmiennej 'a' i wtedy optymalizowac?
27 kwi 22:51
salamandra: zaraz rozwiążę
27 kwi 22:54
jaros: Ktoś pomoże znaleźć mi błąd w funkcji optymalizowanej? bo wychodzą mi wartość najwieksza w punkcie 2 a ma być 1
27 kwi 23:15
salamandra: pokaż
27 kwi 23:17
Mila:
 a2 
hb=(H2+

)1/2 wpisz H2 obliczone z porównania , jak napisałeś i włącz a
 4 
pod pierwiastek . Pamiętaj : ab=a2*b wtedy uprościsz wyrażenie
27 kwi 23:18
a7: Pole boczne to cztery trójkąty czy tam nie trzeba jeszcze pomnożyć razy 4?
27 kwi 23:23
jaros:
 1 32 a2 
Hmmm mam czy to Pb = 4*

*

+

* a
 2 a4 4 
27 kwi 23:25
jaros: pomoże mi ktoś w leczeniu tutaj pochodnej? jak wstawie a pod pierwiastek to może razy a2?
27 kwi 23:26
a7: no tak tylko lepiej chyba zapisać w nawiasie to, co pod pierwiastkiem, żeby było widać o co chodzi
27 kwi 23:28
a7: sprowadź chyba do wspólnego mianownika to , co pod pierwiastkiem
27 kwi 23:29
salamandra: rysunek
 42 
V=

 3 
Pp=4a2
 1 
V=

*Pp*H
 3 
42 1 

=

*4a2*H
3 3 
42=4a2*H
 42 2 
H=

=

 4a2 a2 
z tw. Pitagorasa H2+a2=h2
2 

+a2=h2
a4 
 2+a6 
h2=

 a4 
 2+a6 
h=

 a2 
1 
 2+a6 
2a*

 a2 
 2+a6 2+a6 

Pb=

=a*

=

4 2 a2 a 
27 kwi 23:29
a7:
 128+a6 
(

)
 a2 
27 kwi 23:30
a7: bardzo ładny pierwiastek
27 kwi 23:31
salamandra:
 2+a6 
nie wiem niestety jak wyznaczyć pochodną z

 a 
27 kwi 23:41
Szkolniak:
d a6+2 
 6a5 
a*

a6+2
 2a6+2 
 

(

)=

=...
dx a a2 
27 kwi 23:48
jaros: Ok mam już to co chciałem otrzymać otóż badamy funkcje pod pierwiastkiem (włączyłem już a), ponieważ funkcja pierwiastkowa jest rosnąca (mógłby mi ktoś napisać dokładnie jak mam to opisać?) przyjmuje te same ekstrema co funkcja pierwiastkowa więc:
 32 a4 
f(a) =

+

 a2 4 
 −64 
f'(a) =

+ a3 ====> (policzyłem pochodzie 2 wyrażeń)
 a3 
Sprawdzam czy występują miejsca zerowe:
−64 

+ a3 = 0
a3 
a6 = 64. I pierwiaskuje (pierwiastek 2 stopnia) a3 = 8 v a3 = −8 a = 2 v a = −2 I teraz takie pytanie, , czy trzeba tutaj wyliczyć dziedzinę dla wyrażenia pod pierwiastkiem?
 −64 
oraz jak napisać czy funkcja

+ a3 = 0 zmienia znak w −2 i 2 ?
 a3 
27 kwi 23:54
a7: no to w końcu z czego mamy liczyć pochodną? myślałam, że z całego pola bocznego
27 kwi 23:55
Szkolniak:
 d 
Tfu, oczywiście pewnie

, używając takiego zapisu. emotka
 da 
27 kwi 23:55
jaros: No liczymy pochodną z pola bocznego, tak jak napisałem, funkcja optymalizowana jest prawidłowa teraz musze rozwiązać problem (bo nie wiem jak narysować wykres do tego, gdzie pochodna zmienia znak a gdzie nie).
27 kwi 23:57
jaros: Czy porostu machnąć wykres wielomiany od góry?
27 kwi 23:57
salamandra: @a7 nie ma to znaczenia, czy obliczymy ekstrema dla jednej czy dla czterech
28 kwi 00:00
salamandra: @jaros zbierz to wszystko do kupy, bo ja nawet nie widzę skąd u Ciebie w f(a) te wartości
28 kwi 00:00
jaros: rysunekZatem funkcje przyjmuje maks w a = 2
28 kwi 00:01
jaros:
 1 32 a2 
@salamandra no patrz mamy wzór na Pb = 4 *

* (

+

) * a
 2 a4 4 
Włączam a pod pierwiastkiem i stąd masz funkcje f(a), potem pochodną obliczem z wzoru na pochodną ilorazu i tyle
28 kwi 00:04
jaros: i teraz pytanie jaka jest dziedzina do zadania, ktoś mi podpowie bo to też jest punktowane na maturze, normalnie napisał bym a ∊ (0,+) ale dość skomplikowane to zadanie i nie wiem czy czegoś nie przeoczyłem
28 kwi 00:06
a7: czy ta funkcja ie powinna zmieniać znaku z plusa na minus?
28 kwi 00:08
a7: ta pochodna
28 kwi 00:08
a7: w sensie, żeby to było maksimum?
28 kwi 00:09
salamandra: Jeśli powinno wyjść max dla a=1, to moje rozwiazanie jest ok
28 kwi 00:10
salamandra: Albo i nie, poddaje się na dziś, rano spróbuje jak nie dasz rady zrobić
28 kwi 00:11
a7: moim zdaniem trzeba całą pochodną liczyć z pierwiastka i przyrównywać do zera to, co będzie w liczniku wtedy będziemy wiedzieli, co tam się dzieje, zaraz spróbuję policzyć
28 kwi 00:12
jaros: Dobra rozwiązałem, zaraz napisze rozwiązanie "dla potomnych" emotka
28 kwi 00:20
Szkolniak:
 42 a2*H 42 32 
(V=

∧ V=

) ⇒ H=

⇒ H2=

 3 3 a2 a4 
Wyliczam hb:
 a2 a6+128 a6+128 
H2+

=hb2 ⇒ hb=

⇔ hb=

 4 4a4 2a2 
Podstawiam do wzoru na Pb:
 a6+128 a6+128 
Pb=2*a*hb=2*a*

=

 2a2 a 
Tworzę funkcję P(a):
 a6+128 
P(a)=

, a∊(0;+) (Co do dziedziny również nie jestem pewien)
 a 
 2(a6−64) 
P'(a)=

 a2*a6+128 
P'(a)=0 ⇔ a6−64=0 a6−64=0 (a3−8)(a3+8)=0 (a−2)(a2+2a+4)(a+2)(a2−2a+4)=0 (dzielimy przez dwumiany kwadratowe, bo Δ<0) (a+2)(a−2)=0 . . . Ja bym zrobił w ten sposób, ale u mnie maximum lokalne przyjmowane jest w punkcie a=−2, więc pytanie czy gdzieś mam błąd czy jednak szukamy minimum a nie maksimum. emotka
28 kwi 00:26
a7: Ok
28 kwi 00:27
jaros: rysunekWięc tak znaleźliśmy funkcje optymalizowaną, która jest podana wyżej. 1) Wyznaczamy dziedzinę: a>0 ===> boki nie mogą być ujemne
 32 
a ∊ R − {0} ===>

= {a4}{4} ≥ 0, część wspólna to a ∊ (0;+) 1 pkt.
 a2 
2) Wzór funkcji optymalizowanej 2 pkt.
 −64 
3) Obliczenie pochodnej 1 pkt. f'(a) =

+ a3 1 pkt.
 x3 
4) Obliczenie miejsc zerowych a = 2 v a = −2 1 pkt. 5) a∊(0;2): pochodna maleje a∊(2;+) pochodna rośnie Zatem dla argumentu a = 2 funkcja w podanej dziedzinie przyjmuje wartość najmniejszą. 1 pkt.
 1 
6) Pb = 4 *

* 12
 2 
Pb = 2 * 2*2*3 Pb = 43 1 pkt 7 pkt. ============ KONIEC! XD ale się tutaj namyśliłem
28 kwi 00:34
jaros: Jak coś to w poleceniu mam błąd i chodzi o najmniejsze możliwe pole
28 kwi 00:40
a7: no właśnie się dziwowałam
28 kwi 00:41
Szkolniak: No i darmowe 7pkt na maturze jaros emotka
28 kwi 00:43
jaros: Jak już wiem jak walczyć z takim zadaniem optymalizowanym to jest łatwo, chociaż te zadania są bardzo niesprawiedliwe, bo wystarczy, że nie znajdziesz funkcji, która masz optymalizować i 14% papa
28 kwi 00:48
Szkolniak: Racja, ale moim zdaniem zadania optymalizacyjne odnośnie graniastosłupów, ostrosłupów itd są bardzo schematyczne i chyba można powiedzieć że robi się w każdym to samo. Ale jak dla mnie zadania z geometrii za 3/4 punkty o wiele trudniejsze niż te za 7.. emotka
28 kwi 00:52