minimum ona: Niech f(x)=|x2−5x+4|+mx ,x∊ R wyznacz wszystkie m tak że wartość minimum funkcji f jest wieksza niż 1. Jak to wykonać najprościej?
27 kwi 13:03
wredulus_pospolitus: Najprościej czy tak abyś miała PEWNOŚĆ, że masz dobrze
27 kwi 13:17
ona: No najlepiej i tak i tak chodzi mi o unknięcie zbyt dużych rachunków, więc jak to zrobic?
27 kwi 13:24
wredulus_pospolitus: Metoda 'prosta'. Zauważamy, że przyrost wartości dla funkcji g(x) = |x2−5x+4| w przedziale innym niż (xw − m , xw + m) jest większy niż zmiana wartości funkcji h(x) = mx Zauważamy także, że g(x) = |x2 − 5x + 4| = |(x−4)(x−1)| <−−− g(x) przyjmuje wartość minimalną (równą 0) dla x=4 i x=1. Więc jedyna możliwość by funkcja f(x) = g(x) + mx przyjmowała najmniejszą wartość równą 1 jest taka, że przyjmować będzie ona tą wartość dla x = 1 lub x = 4. Jeżeli by przejmowała tę wartość dla x = 1 to musi być postaci f(x) = |x2 − 5x + 4| + 1*x Jeżeli by przejmowała tę wartość dla x = 4 to musi być postaci f(x) = |x2 − 5x + 4| + x/4 Zauważamy, że o ile dla x = 1 wszystko będzie pasować (mając na uwadze wszystko co wcześniej zauważyliśmy), to dla x = 4 mamy problem ... otóż f(1) = 0 + 1/4 < 1 Związku z tym −−− m = 1 jest jedynym takim parametrem.
27 kwi 13:35
wredulus_pospolitus: A najlepiej −−−− pochodna ... szukasz minimum funkcji f(x) i wyznaczasz dla jakiego 'm' wartość w tymże minimum będzie równa '1'.
27 kwi 13:35
ona: Ok dzieki
27 kwi 13:54
ite: wredulus Czy odpowiedzią nie jest przedział? https://www.geogebra.org/graphing/wqnndymd
27 kwi 14:37
wredulus_pospolitus: przedział ... nie ... ale pokazałaś tą animacją, że istnieje jeszcze jeden m (m<0) taki, że minimalną wartością funkcji f(x) będzie 1
27 kwi 14:56
ite: Wartość minimum funkcji f ma być większa niż 1.
27 kwi 15:08
wredulus_pospolitus: aaaa ... faktycznie ... no to ja źle przeczytałem treść zadania
27 kwi 15:10
ona: Nadal niestety nie wiem jak to wykonacemotka
27 kwi 16:30
ICSP: f(x)=|x2−5x+4|+mx Jeśli m = 0 to f(1) = 0 Jeśli m < 0 to f(1) < 0 Pozostaje przypadek gdy m > 0 Wtedy chcemy aby równanie |x2 − 5x + 4| + mx = 1 nie miało rozwiązań. Zatem |x2 − 5x + 4| = 1 − mx g(x) = 1 − mx Najpierw musi być g(1) < 0 ⇒ 1 − m < 0 ⇒ m > 1 Co oznacza, że możliwe przecięcie pozostaje tylko dla x < 1 stąd równanie x2 − 5x + 4 = 1 − mx ⇒ x2 + (m − 5)x + 3 = 0 nie może mieć pierwiastka mniejszego od 1 Δ < 0 ⇒ |m − 5| < 12 ⇒ m ∊ (1 ; 5 + 23) Jeżeli natomiast pierwiastki istnieją tzn Δ > 0 to xw < 1 a wartość w 1 jest większa od zera, więc pierwiastek istnieje. Ostatecznie zatem m ∊ (1 ; 5 + 23)
27 kwi 17:04