stereometria salamandra: rysunekObjętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa 8, a przekątne dwóch ścian bocznych poprowadzone z jednego wierzchołka tworzą kąt α . Oblicz długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa. 1 sposób) w ΔMBF
 α a 
sin

=

 2 d 
 α 
d*sin

=a
 2 
 a 
d=

 
 α 
sin

 2 
 
w ΔBCF (2a)2+H2=d2
 a2 
4a2+H2=

 
 α 
sin2(

)
 2 
 
 a2 
H2=

−4a2
 
 α 
sin2(

)
 2 
 
 
 α 
a2−4a2(sin2(

))
 2 
 
H2=

 
 α 
sin2(

)
 2 
 
 
 α 
a2(1−4sin2(

))
 2 
 
H2=

 
 α 
sin2(

)
 2 
 
 
 α 
a1−4sin2(

)
 2 
 
H=

 
 α 
sin

 2 
 
2 sposób z tw. sinusów 2β+α=180
 α 
β=90−

 2 
d 2a 

=

 α 
cos

 2 
 sinα 
 α 
d*sinα=2a*cos

 2 
 
 α 
2a*cos

 2 
 a 
d=

=

 
 α α 
2sin

*cos

 2 2 
 
 α 
sin

 2 
 
I nie wiem którą drogą iść, czy to "H" jest "dobrze" wyznaczone i teraz wstawiać do V, czy w ogóle inaczej do tego podejść?
27 kwi 12:27
wredulus_pospolitus: rysunek
 a2H3 323 
V =

= 8 −−> a2 =

 4 3H 
d2 = a2 + H2 a2 = 2d2(1 − sinα) −> a2 = 2(a2+H2)(1−sinα) −−> a2(2sinα − 1) = 2H2(1−sinα) −−−>
 1−sinα 323 1−sinα 
−−−> a2 = 2H2

−−−>

= 2H2

 2sinα − 1 3H 2sinα − 1 
wyznaczasz 'okropną' postać H
27 kwi 12:54
wredulus_pospolitus: tfu ... oczywiście nie sinα tylko cosα wszędzie jest (jeszcze chyba śpię )
27 kwi 12:56
salamandra: to to co zrobiłem to jest źle?, ta moja "postać" H?
27 kwi 12:58
wredulus_pospolitus: I sposób −−− H jest dobrze wyznaczone. Warto napisać na początku założenie: α ∊ (0 ; π/3) Co później pozwala nam ze spokojem stwierdzić, że 1 − 4sin2(α/2) ≥ 0
27 kwi 13:07
wredulus_pospolitus: Właśnie poczułem dziwne "deja vu" II sposób całkowicie zbyteczny ... te przekształcenia były po to by wyznaczyć 'd' które wcześniej wyznaczyłeś w jednej linijce.
27 kwi 13:10
salamandra: Myślałem, że może jakoś trzeba tym "drugim sposobem" kontynuować po tym jak zobaczyłem jaka postać "H" mi wyszła. To, że α nalezy do takiego przedziału to wynika stricte z tego pierwiastka?
27 kwi 13:14
wredulus_pospolitus: Nie ... to że α należy do tego przedziału wynika z tego jaki jest kąt w podstawie graniastosłupa.
27 kwi 13:18
salamandra: a nie są to dwa niezależne od siebie kąty? rozumiem poniekąd o co Ci chodzi, ale nie umiem sobie tego zobrazować, bo kąt α nie jest kątem płaskim
27 kwi 13:22
wredulus_pospolitus: rysunek widok 'z góry' na graniastosłup
27 kwi 13:24
salamandra: W każdym razie mam V=8
 4a23 
Pp=

=a23
 4 
 
 α 
a1−4sin2(

)
 2 
 
8=a23*

 
 α 
sin

 2 
 
 
 α 
a3(3(1−4sin2(

)
 2 
 
8=

 
 α 
sin

 2 
 
I tutaj jest troche kosmos
27 kwi 13:25
wredulus_pospolitus: wyobraź sobie sytuację jaki będzie kąt α jeżeli H = 0.00000000000000000000000000000001 a jaka będzie jak jeszcze zmniejszać będziemy to H do 0. Kąt α będzie coraz bliżej wartości 60o (ale nigdy jej nie osiągnie). Z kolei jeżeli będziemy zwiększać H .... H = 10100000000000 to przy stałym 'a' (powiedzmy a=1) tenże kąt α będzie coraz to mniejszy i mniejszy, ale nigdy nie będzie równy 0o
27 kwi 13:26
wredulus_pospolitus: No kosmos ... tam gdzie ja zacząłem H wyznaczać (poza oczywistym błędem −−− pisałem sinα zamiast cosα) także kosmos wychodził
27 kwi 13:27
salamandra: Teraz czaję emotka
27 kwi 13:27
an: >>bo kąt α nie jest kątem płaskim<< czyli jaki jest, mógłbyś mnie oświecić
27 kwi 13:30
salamandra: mając wyznaczone "d" z tw. cosinusów w ABF również kosmos:
 2a2 2a2 
4a2=


*cosα
 
 α 
sin2(

)
 2 
 
 α 
sin2(

)
 2 
 
 α 
4a2(sin2(

)−2a2
 2 
 2a2 

=−

*cosα
 α 
sin2(

)
 2 
 
 α 
sin2(

)
 2 
 
27 kwi 13:31
salamandra: rysunek@an, nie wiem, z określeniem "kąt płaski" spotykałem się, gdy kąt był po prostu na którejś ścianie, a nie w bryle. np taki:
27 kwi 13:34
an: Kąt płaski jest to kąt na płaszczyźnie, dwie proste przecinające się lub równoległe, wyznaczają płaszczyznę. Kąt α wyznaczony jest przez przecinające się proste zawierające przekątne ścian bocznych jak pisze w zadaniu, a więc muszą znajdować się na jednej płaszczyźnie (wraz z tym kątem który tworzą) wikipedia Kąt – obszar powstały z rozcięcia płaszczyzny przez sumę dwóch różnych półprostych o wspólnym początku, wraz z tymi półprostymi[1]. Półproste nazywane są ramionami kąta, wspólny początek półprostych nazywany jest wierzchołkiem kąta. Obszar ten bez wspomnianych półprostych, tj. jego wnętrze, nazywa się niekiedy kątem otwartym (por. zbiór otwarty), opatrując dla kontrastu pierwotną definicję nazwą kąta domkniętego (por. zbiór domknięty). Kąt można też zdefiniować jako część wspólną lub jako sumę dwóch półpłaszczyzn z brzegiem wyznaczonych przez dwie nierównoległe proste. Wówczas należy dodatkowo zdefiniować „kąt pełny” jako całą płaszczyznę, „kąt półpełny” jako półpłaszczyznę oraz „kąt zerowy” jako półprostą. Gdy kąt obejmuje całą płaszczyznę (w przypadku „kąta pełnego”) pomocne bywa wyróżnienie na płaszczyźnie półprostej pełniącej rolę ramion i z jej początkiem jako wierzchołkiem kąta. Podobnie gdy ramiona dopełniają się do prostej (dając „kąt półpełny”) wyróżnia się czasem wspólny początek półprostych, tj. ustalony punkt powstałej prostej, jako wierzchołek.
27 kwi 13:57
salamandra: dzięki za wyjaśnienie
27 kwi 14:02
Saizou : rysunek
 α a a 
sin

=

→d=

 2 d 
 α 
sin

 2 
 
d2=H2+4a2
a2 α α 1−cosα 

=H2+4a2 1−cosα=2sin2

→sin2

=

 α 
sin2

 2 
 2 2 2 
2a2 

=H2+4a2
1−cosα 
 1 
H2=2a2(

−2)
 1−cosα 
 2cosα−1 
H2=2a2*

 1−cosα 
8=Pp*H 64=Pp2*H2
 4a23 2cosα−1 
64 = [

]2 * 2a2*

 4 1−cosα 
 2cosα−1 
64 = 6a6*

 1−cosα 
 32(1−cosα) 
a6=

 3(2cosα−1) 
 32(1−cosα) 
a=6

 3(2cosα−1) 
27 kwi 14:12
wredulus_pospolitus: Ogólnie −−− to zadanie bardziej przypomina zadania 'ze starych czasów' (patrz −−−moja matura) niż to co jest na nowej maturze
27 kwi 14:14
Saizou : wg mnie nawet dobrze, że tak się dzieje. NIech ćwiczą sprawność rachunkową.
27 kwi 14:30
Mila: 2a − krawędź podstawy
 α 
1) Obliczyć wysokość przekroju: h=a*ctg

 2 
2) Wysokość gran.
 a3 
h2=(

)2+H2
 2 
3) Podstawić do wzoru 8=a23*H
27 kwi 21:50