Miary kątów wielokąta tworzą ciąg arytmetyczny. Iwona: Wiadomo, że miary kątów wewnętrznych pewnego wielokąta wypukłego tworzą ciąg arytmetyczny. Największy kąt ma miarę 171 stopni, a różnica 6 stopni. a) Wyznacz liczbę boków tego wielokąta. b) Ile przekątnych ma ten wielokąt?

Eta: Pomagam

Basia: suma miar kątów n−kąta wypukłego = (n−2)*180 Twój ciąg ma wzór a_n = a₁+(n−1)*r czyli 171 = a₁+(n−1)*6 stąd a₁ = 171−(n−1)*6 >0 171−6n+6 > 0 177>6n

	177
n<		= 2936 = 2912
	6

czyli n≤29 spróbujmy sprawdzić czy n=29 (n−2)*180=27*180=4860 a₁ = 171−28*6 = 171−168=3

	a1+a29		3+171		174
S29=		*29 =		*29 =		*29 = 87*29
	2		2		2

niestety 87*29 = 2523 ≠ 4860 sprzeczność Twoje zadanie nie ma rozwiązania Może to miał być najmniejszy, a nie największy kąt

Eta: Miary katów tworza ciąg o różnicy r= − 6^o ( czyli ciąg malejący) nie piszę stopni , bo mi wygodniej ( napiszesz sama , ) a₁= 171 r= −6 a_n= a₁+(n−1)*r , gdzie n −− ilość kątów i boków a_n= 171 −6n +6= 177−6n

	171+177−6n
Sn =		*n= (174−3n)*n
	2

ponad to sumakatów wewnetrznych wielokata wypukłego wyraza sie wzorem (n−2)*180^o zatem porównując te sumy mamy: (174−3n)*n= (n−2)*180 po uporządkowaniu otrzymasz równanie: n² +2n −120=0 Δ= 484 √Δ= 22 n₁ = 10 v n₂ <0 −−−odrzucamy zatem tym wielokątem spełniającym warunki zad. jest 10−ciokąt ilość przekatnych wyznaczamy ze wzoru:

	n(n−3)
d=		=........ dokończ
	2

Basia: Eta przyjęła, że 171 to kąt najmniejszy, i pewnie tak ma być, bo pokazałam, że jeśli to jest, tak jak napisałaś, największy to zadanie nie ma rozwiązania

Eta: No to jeszcze sprawdzenie , za przykładem Basi (n−2)*180^o= 8*180^o= 1440^o S₁₀= ( 174−30)*10= 144*10 = 1440^o czyli jest ok P.S. Pozdrawiam Basiu

Eta: Niestety , ale przyjęłam ,że 171^o −−− miara kata najwiekszego ale przyjęłam r= −6 ........ bo ciąg malejący ( i takie r musi być)

Basia: Zgadza się; gdzieś się machnęłam.

Iwona: Dziękuję Basiu i dziękuje Eta za rozwiązanie zadania! W zadaniu jest napisane, że 171^o to miara kąta największego. Jeszcze raz dzięki, pozdrawiam!