dowod f123: Udowodnij ze dla dowolnych liczb x, y, z roznych od zera prawdziwa jest nierownosc: 2x² + 5y² +3z² − 6xy − 2xz + 5yz > 0

ula: Podstaw np y=ax oraz z=bx i podziel potem przez x² i wyjdzie równanie kwadratowe.

Godzio: Nie zawsze widać co trzeba podstawić, ale często działa prosty sposób potraktowania jednej niewiadomej jako zmiennej, a pozostałych jako parametry: 2x² + 5y² + 3z² − 6xy − 2xz + 5yz > 0 2x² − x(6y + 2z) + 5y² + 3z² + 5yz > 0 Chcemy, aby nierówność była zawsze spełniona, sprawdźmy więc deltę czy zawsze jest ujemna Δ_x = (6y + 2z)² − 8(5y² + 3z² + 5yz) = = 36y² + 24yz + 4z² − 40y² − 24z² − 40yz = = − 4y² − 16yz − 20z² = − 4(y² + 4yz + 5z²) Jeżeli Δ_y (z nawiasu) jest zawsze ujemna to znaczy, że Δ_y również jest zawsze ujemna Δ_y = 16z² − 20z² = − 4z² < 0 bo z ≠ 0, stąd Δ_x(y) jest funkcją kwadratową z ramionami do dołu bez miejsc zerowych − przyjmuje zatem wyłącznie wartości ujemne. Oznacza to, że początkowa nierówność kwadratowa przedstawia funkcję kwadratową z ramionami do góry i bez miejsc zerowych, a zatem przyjmuje tylko wartości dodatnie.

jc: 2x²+5y²+3z²−6xy−2xz+5yz =[(y+3z)² + 2(2x−3y−z)² +(z+y)²]/4 ≥0 a kiedy = 0? y+3z=0 z+y=0 2x−3y−z=0 stąd x=y=z=0 a więc dla w każdym innym przypadku wyrażenie jest dodatnie.

Saizou : albo też tak 2x²+5y²+3z²−6xy−2xz+5yz= 2x²−6xy−2xz+5y²+5yz+3z²=

	√2		√2
(√2x)2−2x(3y+z)+[		(3y+z)]2 − [		(3y+z)]2+5y2+5yz+3z2=
	2		2

	√2		1		5
[√2x+		(3y+z)]2+		y2+2yz+		z2=
	2		2		2

	√2		1
[√2x+		(3y+z)]2+		(y2+4yz+5z2)=
	2		2

	√2		1
[√2x+		(3y+z)]2+		(y2+4yz+4z2+z2)=
	2		2

	√2		1
[√2x+		(3y+z)]2+		[(y+2z)2+z2]=
	2		2

	√2		1		1
[√2x+		(3y+z)]2+		(y+2z)2+		z2 ≥ 0
	2		2		2

równe zero, tak jak napisał jc