kombinatoryka adal: Ala, Ola, Jola i Ela rzucają kolejno symetryczną, sześcienną kostką do gry, do chwili, aż wypadnie pierwsza szóstka. Osoba, która wyrzuciła szóstkę wygrywa. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że wygra Ela Ma ktoś jakiś pomysł na to?

f123: 50%

wredulus_pospolitus: Prawdopodobieństwa wygranej: I runda

	1
Ala −
	6

	5		1
Ola −		*		(bo Ala musi wyrzucić coś poza '6')
	6		6

	5		5		1
Jola −		*		*
	6		6		6

	5		5		5		1
Ela −		*		*		*
	6		6		6		6

II runda:

	5		1
Ala − (		)4*		(bo nikt w pierwszej rundzie nie wyrzucił '6')
	6		6

	5		5		1
Ola − (		)4*		*
	6		6		6

	5		5		5		1
Jola − (		)4*		*		*
	6		6		6		6

	5		5		5		5		1
Ela − (		)4*		*		*		*
	6		6		6		6		6

itd. I teraz, możemy zrobić to na dwa sposoby:

Pytający: (5³ / 6⁴) + (5 / 6)⁴ * (5³ / 6⁴) + ((5 / 6)⁴)² * (5³ / 6⁴) + ((5 / 6)⁴)³ * (5³ / 6⁴) + ...

	(53 / 64)		125
= ∑k=0∞ (((5 / 6)4)k * (53 / 64)) =		=
	1 − (5 / 6)4		671

Pytający: No to jeden sposób już jest.

wredulus_pospolitus: I sposób: Jesteśmy sprytni i zauważamy, że prawdopodobieństwo dla każdego gracza w każdej rundzie będzie

	5
o dokładnie (		)4 mniejsze niż to jakie było w rundzie poprzedniej.
	6

Czyli łączne prawdopodobieństwo wygranej (np.) Eli to nic innego jak ... suma nieskończonego

	5		1		5
ciągu geometrycznego o e1 = (		)3*		i q = (		)4
	6		6		6

Wstawiamy więc do wzoru:

	5   1   ( )3*   6   6		53		125
S =		=		=		=
	5   1 − ( )4   6		64 − 54		1296 − 625

	125
=
	671

wredulus_pospolitus: II sposób: Powiedzmy, że nie jesteśmy 'w ten sposób' sprytni albo po prostu z jakiegoś dziwnego powodu nie pamiętamy wzoru na sume nieskończonego ciągu geometrycznego. Zauważmy, że: Ala ma w każdej rundzie jakąś tam szansę na wygraną ... powiedzmy że jest to x_i

	5		5
Ola będzie miała o		mniejszą szansę ... czyli		xi
	6		6

	5
Jola będzie miała szansę równą (		)2xi
	6

	5
a Ela będzie miała szansę równą (		)3xi
	6

Sumując szanse z wszystkich (nieskończenie wielu) rund będziemy mieli: Ala −−− X

	5
Ola −−−		X
	6

	5
Jola −−− (		)2X
	6

	5
a Ela −−− (		)3X
	6

Zdajemy sobie sprawę, że suma tych czterech wartości musi nam dać 1 (no bo któraś z nich MUSI wygrać ... zakładamy, że się nigdy nie starzeją i nawet jeśli gra by trwała 100 miliardów lat, to w końcu któraś z nich by wygrała) Więc mamy:

	5		5		5
X +		X + (		)2X + (		)3X = 1
	6		6		6

	5		5		5
X( 1 +		+ (		)2 + (		)3) = 1
	6		6		6

	671		216
X*		= 1 −−−> X =
	216		671

	5
Skoro prawdopodobieństwo Eli to było (		)3*X
	6

	5		216		125
no to liczymy: (		)3*		=
	6		671		671

No i mamy.