Prawdopodobieństwo warunkowe pw: Liczby 1,2,3, ..., 10 ustawiamy w ciąg w sposób losowy. Oblicz prawdopodobieństwo, że 1 zostanie ustawione przed 2, wiedząc, że 2 znajdzie się na 4 miejscu w ciągu. Rozwiązanie: A − 1 stoi przed 2 B − 2 jest na czwartym miejscu Ω = 10!

	9!		1
P(B) =		=
	10!		10

I sposób:

	3 * 8!
P(A ∩ B) =		, ponieważ cyfra 2 stoi na czwartej pozycji, zaś przed nią mogą stać
	10!

jedynki na 3 sposoby, kolejne liczby (10−2)!

	3		10		1
P(A | B) =		*		=
	90		1		3

II sposób: | A | = (9+8+...+1) * 8! = 45 * 8!

	45*8!		1
P(A) =		=
	10!		2

	1		1		1
P(A ∩ B) = P(A) * P(B) =		*		=
	2		10		20

	1		10		1
P(A | B) =		*		=
	20		1		2

Mógłby mi ktoś podpowiedzieć który sposób jest prawidłowy?

Szkolniak:

	1
ja bym powiedział że prawdopodobieństwo tutaj równe jest
	30

pw: Mógłbyś mi przybliżyć swoje rozwiązanie, bo nie rozumiem jak to obliczyłeś ?

Szkolniak: '2' ma stać na czwartym miejscu ciągu, a '1' ma stać przed '2', więc mamy 3 możliwości do rozdysponowania '1' '2' stoi na czwartym miejscu i przyjmijmy, że '1' stoi na pierwszym miejscu, wtedy: pierwsze i czwarte miejsce wybieramy na jeden sposób i resztę miejsc dopełniamy na 8! sposobów sytuacja z '1' na drugim i na trzecim miejscu będzie dokładnie taka sama jak w poprzednim rozpatrywanym przypadku stąd takich sytuacji są 3

	8!		1
zatem P(A)=3*		=
	10!		30

Mila: XXX2X.....X Możesz wybrać miejsce dla jedynki na 3 sposoby,pozostałe elementy ustawiasz na 8! sposobów.

laczek: ale przecież w P(A) wiadomo tylko ,że 1 stoi przed 2 nie wiemy o 2 na czwartym miejscu.

wredulus_pospolitus: Ja bym to zrobił tak Ω −−− przestrzeń takich zdarzeń, w których '2' jest na czwartym miejscu |Ω| = 9! A −−− zdarzenie w którym '1' stoi na jednym z trzech pierwszych miejsc |A| = 3*8!

	3*8!		1
P(A) =		=
	9!		3

Zauważ, że powyższe rozumowanie można 'przełożyć' na prawdopodobieństwo warunkowe, po prostu: moja Ω = Twoje B moje A = Twoje AnB

Szkolniak:

	8!
wiemy, gdybyś miał powiedzmy '2' na siódmym miejscu to wtedy P(A)=6*
	10!

Mila: I sposób pw albo skrócony wredudlusa , pw, możesz I sposób zapisać krócej:

	|A∩B|
P(A/B)=
	|B|

wredulus_pospolitus: Szkolniak −−− nie .... skoro w treści zadania mamy: 'wiemy że coś miało miejsce' to albo robisz z warunkowego dla 'nie zmodyfikowanej przestrzeni zdarzeń' albo ją 'modyfikujesz'. Ty nie zrobiłeś ani jednego ani drugiego. Obliczyłeś więc prawdopodobieństwo P(AnB) i na tym skończyłeś, a nie to było poleceniem tegoż zadania.

laczek: Nie rozumiem dlaczego drugi sposób jest źle ? Skoro zdarzenie A opisuje tylko i wyłącznie ''1 stoi przed 2" to | A | = (9+8+...+1) * 8! = 45 * 8! jest moim zdaniem poprawne.

wredulus_pospolitus: pw II sposób przez Ciebie przedstawiony mógłby zostać użyty gdyby Zdarzenia A i B były niezależne, a niestety takie nie są.

wredulus_pospolitus: Błąd masz w tym miejscu: P(A ∩ B) = P(A) * P(B) <−−−− to nie musi być prawda, przeważnie nie jest prawdą ... i w tym przypadku właśnie nie jest prawdą

pw: wredulus pospolitus już rozumiem, tylko mógłbyś mi jeszcze powiedzieć w jaki sposób rozpoznawać niezależność zdarzeń?

Szkolniak: w takim razie przepraszam za głupoty

pw: Dziękuję wszystkim za pomoc, już rozumiem

Mila:

wredulus_pospolitus: pw nie rozróżnisz czy zdarzenia są niezależne czy są zależne jeżeli nie sprawdzisz czy: P(AnB) = P(A)*P(B) innej (pewnej) metody po prostu nie ma. Natomiast często widać, że zdarzenia są zależne, pomimo tego − lepiej zawsze sprawdzić