Wielomiany Ab3: Mógłby ktoś pomóc rozwiązać? Z góry dziękuję. 1. Oblicz wszystkie możliwe całkowite wartości parametru m, dla których co najmniej jeden pierwiastek wymierny ma równanie x³ − x² + mx + 1 = 0 Odp. m = −1 2. Określ liczbę pierwiastków równania w zależności od wartości parametru m. a) x³ − mx = 0 b) x³ + (m + 2)x² + x = 0 Odp. a) jeden pierwiastek gdy m≤0, trzy pierwiastki gdy m>0 b) jeden pierwiastek gdy m∊ (−4,0), dwa pierwiastki gdy m∊ {−4,0}, trzy pierwiastki gdy m∊(−∞,−4) ∪ (0,+∞)

janek191: 1) x³ − x² + m x + 1 = 0 Szukamy pierwiastków wśród dzielników liczby 1: 1³ − 1² + m + 1 = 0 m + 1 = 0 m = − 1 ===== (−1)³ − (−1)² − m + 1 = 0 − 1 − 1 − m + 1 = 0 −1 − m = 0 m = − 1 ======

Ab3: Dziękuję bardzo

Szkolniak: 2. ad a) x³−mx=0 x(x²−m)=0 x=0 V x²=m jedno rozwiązanie dla: m<0 (bo kwadrat żadnej liczby rzeczywistej nie da nam liczby ujemnej) + sprawdzamy, że dla m=0 równanie również ma jedno rozwiązanie trzy rozwiązania wtedy, gdy m>0 x₁=0 v x₂=−√m V x₃=√m

Ab3: Również dziękuję

Szkolniak: 2. ad b) x[x²+(m+2)x+1]=0 (1), x²+(m+2)x+1=0 (2) Jednym rozwiązaniem jest już x=0. Rownanie (1) ma jedno rozwiązanie wtedy, gdy: − równanie x²+(m+2)x+1=0 nie ma rozwiązań (Δ<0) − lub gdy równanie (2) ma jedno rozwiązanie: x=0 (Δ=0 i f(0)=0) Rownanie (1) ma dwa pierwiastki wtedy, gdy: − równanie (2) ma jeden pierwiastek różny od 0 (Δ=0 i f(0)≠0) − równanie (2) ma dwa pierwiastki, z czego jeden równy jest 0 (sytuacja ta byłaby możliwa gdyby wyraz wolny by był równy 0, zatem w naszym przykładzie sytuacja ta jest niemożliwa) Rownanie (1) ma trzy pierwiastki wtedy, gdy: − równanie (2) ma dwa, różne od siebie i od 0 pierwiastki, czyli gdy Δ>0 i f(0)≠0 Może się przyda, mam nadzieję że zrozumiale napisane

Ab3: Tak