op f123: Na kole o promieniu 12 opisano trójkąt prostokątny. Oblicz długości boków tego trójkąta, którego pole jest najmniejsze. Sprawdzi ktos czy dobrze uzaleznilem 'b' od 'a'

	24a + 288
b =
	2a − 24

wredulus_pospolitus: czym jest a

f123: bokiem.

f123:

wredulus_pospolitus: Prawie:

	2P		ab		ab
12 = r =		=		=
	a+b+c		a+b+c		a+b+√a2+b2

	24(a+12)
b =
	a − 24

wredulus_pospolitus: ab − 12(a+b) = 12√a²+b² a²b² − 24ab(a+b) + 144(a+b)² = 144(a² + b²) a²b² − 24ab(a+b) = − 288ab ab − 24b = 24a − 288

	24a − 288
b =
	a − 24

f123: Inaczej to robilem, powinno byc 2ab

wredulus_pospolitus: fil

	ab
2P = 2*		= ab
	2

f123: Robilem z pitagorasa, nie z pola

wredulus_pospolitus: pitagoras <−−− jedno równanie a drugie równanie

Eta: @f123 dobrze Prostszy zapis:

	12(a+12)
b=
	a−12

I dalej już prosto

	6a(a+12)
P(a)=
	a−12

P(a)^'= 0 .............. Δ −−− prostokątny równoramienny a=r(2+√2) i c= a√2 = 2r(1+√2) ============================

wredulus_pospolitus: Etuś ... nie jest dobrze. w sensie −−− jeżeli a,b to BOKI tego trójkąta to nie jest dobrze wyznaczone. Dobrze jest, jeżeli a+12 i b+12 to są boki tegoż trójkąta

Eta: Ja tak bym oznaczała

Eta: P=(a−12)(b−12) i teraz wyznaczyć b z tw .Pitagorasa gdzie : c= a+b−24

Eta: Podam taki sposób:

	a2b		b
2P=		i tg(2α)=
	a		a

	2tgα		r		r(1+tgα)
to 2P=a2tg(2α) tg(2α)=		i tgα=		⇒ a=
	1−tg2α		a−r		tgα

podstawiam tgα= t , t>0

	r2(t+1)2		t
to: P(t)=		*
	t2		1−t2

	r2(t+1)
P(t)=
	t(1−t)

	r2([t−t2)−(t+1)(1−2t)]
P(t) =
	t2(1−t)2

P^'(t)=0 ⇒ ...... t²+2t−1=0 Uzasadnij, że osiąga minimum dla t= √2−1

	2(√2−1)
tgα= √2−1 ⇒ α= 22,5o lub tak tg2α=		= ...= 1
	1−(√2−1)2

to 2α= 45^o =========== Δ −−− jest prostokątny równoramienny i dalej już prosto ......

Eta: Na rysunku niepotrzebnie "wyskoczyło" P

wredulus_pospolitus: Etuś. Ale co Ty za pole liczysz P = (a−12)(b−12) to jest pole prostokąta o bokach (a−12) , (b−12), a przecież: P_ABC = 12² + 12*((a−12) + (b−12)) podstawiając: a₊ = a − 12

	12(a+ + 12)
b+ = b − 12 czyli oznaczenia dla których b+ =
	a+ − 12

a to pole będzie najmniejsze gdy suma a₊ + b₊ będzie najmniejsza

Eta: Punkt styczności dzieli przeciwprostokątną na dwa odcinki x i y to P_Δ= x*y Znane Ci to jest ?

Eta: Nowe zadanie może brzmieć : wykaż,że tak jest

wredulus_pospolitus: Możliwe, że kiedyś było znane Chociaż nadal bym stwierdził, że zbyteczne jest liczenie pochodnej iloczynu, jeżeli możemy liczyć pochodną sumy ... odrobinę 'ładniejsza' pochodna wyjdzie

Eta: Dla mnie najłatwiej z kątem α

wredulus_pospolitus: Faktycznie jest −−− w sumie dowód zajął dwie linijki + wcześniejszy rysunek.

Eta:

Eta: Dobranoc

Saizou : No to bez kątów

	1
P(a,b)=		(b+12)(a+12)=ab+12b+12a+144
	2

Pitagoras (b+12)²+(a+12)²=(a+b)² 24b+144+24a+144=2ab /:2 12a+12b+144=ab zatem P= P(a,b) = 2ab NIerówność między średnimi

a+b
	≥ √ab=√2ab/2=√P/2
2

Równość zachodzi, gdy a=b, zatem trójkąt jest trójkątem prostokątnym równoramiennym. I dalej już prosto

f123: To jaki w koncu sposob jest dobry?

Saizou : Rozwiążmy, to tak standardowo Rysunek taki jak u mnie z 10:00

	1
P(a,b)=		(b+12)(a+12)
	2

Z tw. Pitagorasa (b+12)²+(a+12)²=(a+b)² b²+12b+144+a²+12a+144=a²+2ab+b² 12a+244=2ab−12b 2(a+144)=2b(a−6)

	a+144
b=		dla a≠6
	a−6

	1		a+144
P(a)=		(		+12)(a+12)
	2		a−6

pochodna itd.

f123: ale jak ci 'b' takie wyszlo?

Bleee: Saizou... Trochę namieszałeś przy wyznaczaniu 'b'.

f123: Tu chyba najlepiej zrobic pochodna iloczynow, a nie wymnazac cale wyrazenie