trójkąt Frix: Niech E i F będą punktami na bokach trójkąta równobocznego ABC. Wykaż że:

EB		BF
	+		=1.
AE		FC

https://files.tinypic.pl/i/01003/j402ximx35et.png

PW: Rozumieć należy, żę punkty E i F są punktami wspólnymi trójkąta i prostej stycznej do okręgu wpisanego w trójkąt?

Frix: Tak, dokładnie.

Frix:

Bogdan: Szkic: Założenia: |BM| = |MA| = |AK| = |KC| = |CL| = |LB| = a = r√3, |KS| = |LS| = |NS| = |MS| = r, |LF| = |FN| = b, |NE| = |EM| = c, |BF| = a − b, |BE| = a − c, |∡MSA| = |∡KSA| = |∡KSC| = |∡LSC| = 60^o, |∡LSF| = |∡NSF| = α, |∡NSE| = |∡MSE| = β

	a − c		a − b
Teza:		+		= 1
	a + c		a + b

Dowód: 2α + 2β = 120^o ⇒ α + β = 60^o ⇒ β = 60^o − α

	tg60o − tgα		√3 − tgα
tgβ = tg(60o − α) =		=
	1 + tg60o*tgα		1 + √3*tgα

ΔSLF: b = r*tgα, ΔSME: c = r*tgβ

a−c		a−b		r√3 − r*tgβ		r√3 − r*tgα
	+		=		+		=
a+c		a+b		r√3 + r*tgβ		r√3 + r*tga

	√3 − tgβ		√3 − tgα
=		+		= ... (dalej samodzielnie) .. = 1
	√3 + tgβ		√3 + tgα