Metryki WhiskeyTaster: Próbuję się głowić nad pewną nierównością metryk, ale mi nie idzie. Mamy (ℛⁿ, d_s) oraz (ℛⁿ, d_e), gdzie d_e jest metryką euklidesową, zaś d_s = ∑_i=1ⁿ(|a_i − b_i|) Jak pokazać, że d_s ≤ √nd_e? Mam dopisek, że to konsekwencja nierówności Cauchy'ego, ale nie za bardzo widzę powiązanie. Próbowałem tak: d_s ≤ √nd_e (d_s)² ≤ n(d_e)² (d_s)² = ∑_i=1ⁿ(a_i²) − 2∑_{i ≠ k}ⁿ(a_ia_k) − 2∑_{i ≠ k}ⁿ(b_ib_k) − 2∑_i=1ⁿ(a_ib_i) + ∑_i=1ⁿ(b_i²), no ale dalej niekonieczne to do czegoś prowadzi. Można skrócić pewne sumy, ale dalej się w tym gubię. Jakaś wskazówka?

jc: u=(1,1,1) v=(|x|,|y|.|z|) uv ≤ √u²√v², nierówność Schwarza (oczywiście u Ciebie zamiast 3 jest n). |x|+|y|+|z| ≤ √3 √x²+y²+z²

WhiskeyTaster: Hm, czyli jeśli zrobić tak: d_s = ∑_i=1ⁿ(|a_i − b_i|) ≤ ∑_i=1ⁿ(|a_i|) + ∑_i=1ⁿ(|b_i|), to stąd już mogę napisać, że korzystając z nierówności Schwarza mamy: ∑_i=1ⁿ(|a_i|) + ∑_i=1ⁿ(|b_i|) ≤ √nd_e, a więc d_s ≤ √nd_e?

Adamm: Nie ||x||₁ = ∑ |x_i| ≤ √∑ 1 √∑ |x_i|² = √n||x||₂

WhiskeyTaster: W takim razie nie bardzo wiem. Najpierw muszę jakoś oszacować d_s, inaczej nie będę w stanie móc wykorzystać tej nierówności.

WhiskeyTaster: Chociaż dobra, chyba rozumiem nierówność. ||a − b||₁ = ∑|a_i − b_i| ≤ ∑√1∑√(a_i − b_i)² = √n||a − b||₂