Rozwiąż równania erykw2001: Pomóżcie proszę a) tg³x − tg²x + tgx = 1 b) 4sin³x − 8sin²x − sinx + 2 = 0

f123: a) tg²x(tgx − 1) + (tgx − 1) = 0 (tgx − 1)(tg²x + 1) = 0 b) 4sin²x(sinx − 2) − (sinx − 2) = 0 (sinx − 2)(4sin²x − 1) = 0

Mariusz: tg³x−tg²x+tgx−1=0 tg²x(tgx−1)+(tgx−1)=0 (tgx−1)(tg²x+1)=0 tg²x+1=0 nie ma rozwiązań dla x∊ℛ więc zostaje do rozpatrzenia tgx−1=0 4sin³x−8sin²x−sinx+2=0 4sin²x(sinx−2)−(sinx−2)=0 (sinx−2)(4sin²x−1)=0 (sinx−2)(2sinx−1)(2sinx+1)=0 sinx−2=0 nie ma rozwiązań dla x∊ℛ więc zostaje do rozpatrzenia (2sinx−1)(2sinx+1)=0

PW: a) Dla skrócenia zapisu podstawmy tgx = t t³ − t² + t − 1 = 0 t²(t − 1) + (t − 1) = 0 (t − 1) (t² + 1) = 0 Ponieważ t² + 1 ≠ 0, powyższe równanie jest równoważne równaniu t − 1 = 0 i wracamy do podstawienia.

Mariusz: f123 b) można było jeszcze bardziej rozłożyć ale śpieszyło ci się aby być pierwszym

f123: @Mariusz uzyc a² − b² ?

f123: A no mozna, ale juz na tym stadium mozna wniski wyciagnac

Mariusz: 20 kwi 2020 11:33 No właśnie tego by trzeba było użyć 20 kwi 2020 11:35 Niby tak ale wtedy trzeba było sin²x zapisać jako cos2x 4sin²x − 1 cos²x+sin²x=1 cos²−sin²x=cos2x 2sin²x=1−cos2x 2−2cos2x−1=0 1−2cos2x=0 2cos2x=1 ale nie chciało ci się tego rozpisać bo się śpieszyło ci się aby być pierwszym

WhiskeyTaster: @Mariusz, masz gdzieś ten swój PDF o rozwiązywaniu równań trzeciego i czwartego stopnia? Kiedyś jakiś wstawiałeś i nawet pobrałem, ale zrobiłem to na telefonie, który już dawno wymieniłem. Byłbym wdzięczny za jego ponowne udostępnienie.

f123: @Mariusz co 4sin²x − 1= 0

	1
sin2x =
	4

	1
sinx = ±
	2

Dokladnie, spieszylo mi sie, widze ze sporo wiesz o mnie

Mariusz: Chodzi ci o ten rozdział u Sierpińskiego czy Algebrę Eulera Algebra Eulera to bardziej dla kolekcjonerów Rozdział książki Sierpińskiego http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/mon/mon11/mon1110.pdf Algebra Eulera https://www.math.uni-bielefeld.de/~sieben/Euler_Algebra.ocr.pdf Jak dobrze poszukasz to możesz znaleźć też Hieronimi Cardani Artis Magnae sive de regulis algebraicis

WhiskeyTaster: Zdecydowanie chodziło o pierwszy link. Dziękuję, spróbuję opanować i zrozumieć metodę w najbliższym czasie.

Mariusz: WhiskeyTaster: U Sierpińskiego jest to trochę skrótowo opisane i pewne rzeczy trzeba sobie przypomnieć , przedstawione metody wymagają zespolonych w tzw przypadku nieprzywiedlnym Jedna z metod wymaga przeczytania wcześniejszego rozdziału (zmieniasz numerek w odnośniku) Poczytaj sobie i jak będziesz miał jakieś pytania to pisz

WhiskeyTaster: Okej, będę miał to wszystko na uwadze

Mariusz: WhiskeyTaster: Miałeś wprowadzone liczby zespolone ? Jeśli nie to do rozwiązania przypadku nieprzywiedlnego trzeba od innej strony podejść Jeśli nie znasz liczb zespolonych to rozwiązywanie równań trzeciego stopnia rozbijasz na dwa przypadki 1. Zauważasz że wzór skróconego mnożenia na sześcian sumy bądź różnicy po przegrupowaniu wyrazów ma tę samą postać co rozwiązywane równanie 2. Zauważasz że wzór na cosinus bądź sinus kąta potrojonego ma tę samą postać co rozwiązywane równanie Jeśli z jednego podejścia nie uzyskasz rozwiązania bez konieczności wejścia w zespolone to uzyskasz je z drugiego podejścia

WhiskeyTaster: Miałem, miałem. Ale przyznam bez bicia, że tak średnio jestem z nimi zaznajomiony, więc pewnie od tego zacznę, żeby być z nimi dosyć biegłym. Ale myślę, że podejście trygonometryczne też będę chciał przećwiczyć.