równanie Kinga: proszę o pomoc rozwiąż równanie x³ − 2x²−5x+6=0

Saizou : Liczba 1 jest pierwiastkiem równanie, zatem podziel przez dwumian x−1

Mariusz: Jeśli nie chcesz zgadywać co nie zawsze daje efekt ani nawet nie zawsze jest szybsze to

	2		4		8
(x−		)3=x3−2x2+		x−
	3		3		27

	2		19		2		4		8		19		38
(x−		)3−		(x−		)=(x3−2x2+		x−		)−(		x+		)
	3		3		3		3		27		3		9

	2		19		2		106
(x−		)3−		(x−		)=x3−2x2−5x+
	3		3		3		27

	2		19		2		56
(x−		)3−		(x−		)+		=x3−2x2−5x+6
	3		3		3		27

	2		19		2		56
(x−		)3−		(x−		)+		=0
	3		3		3		27

	2
y=x−
	3

	19		56
y3−		y+		=0
	3		27

y=u+v y³=u³+3u²v+3uv²+v³ y³=u³+v³+3uv(u+v)

	19		56
u3+v3+3uv(u+v)−		(u+v)+		=0
	3		27

	56		19
u3+v3+		+3(u+v)(uv−		)=0
	27		9

	56
u3+v3+		=0
	27

	19
3(u+v)(uv−		)=0
	9

	56
u3+v3=−
	27

	19
uv−		=0
	9

	56
u3+v3=−
	27

	19
uv=
	9

	56
u3+v3=−
	27

	6859
u3v3=
	729

	56		6859
t2+		t+		=0
	27		729

	28		6859−784
(t+		)2+		=0
	27		729

	28		6075
(t+		)2+		=0
	27		729

Teraz jeśli znasz zespolone to możesz kontynuować rozwiązywanie tego równania kwadratowego a jeśli nie to wracasz do równania

	19		56
y3−		y+		=0
	3		27

i starasz się skorzystać ze wzoru na cosinus kąta potrojonego cos(α+2α)=cos(α)cos(2α)−sin(α)sin(2α) cos(2α)=cos(α+α)=cos(α)cos(α)−sin(α)sin(α) cos(2α)=cos²(α)−sin²(α) cos(2α)=cos²(α)−(1−cos²(α)) cos(2α)=2cos²(α)−1 sin(2α)=sin(α+α)=sin(α)cos(α)+cos(α)sin(α) sin(2α)=2sin(α)cos(α) cos(3α)=cos(α)(2cos²(α)−1)−sin(α)2sin(α)cos(α) cos(3α)=cos(α)(2cos²(α)−1)−2cos(α)sin²(α) cos(3α)=cos(α)(2cos²(α)−1)−2cos(α)(1−cos²(α)) cos(3α)=2cos³(α)−cos(α)−2cos(α)+2cos³(α) cos(3α)=4cos³(α)−3cos(α)

	19		56
y3−		y+		=0
	3		27

y=ucos(θ)

19   u 3		3
	=
u3		4

19   3		3
	=
u2		4

19		9
	=
u2		4

1		9
	=
u2		76

	76
u2=
	9

	2√19
u=
	3

	2√19
y=		cos(θ)
	3

152√19		38√19		56
	cos3(θ)−		cos(θ)+		=0
27		9		27

	152√19		38√19		56		27
(		cos3(θ)−		cos(θ)+		=0)
	27		9		27		38√19

	28√19
4cos3(θ)−3cos(θ)+		=0
	361

	28√19
4cos3(θ)−3cos(θ)=−
	361

	28√19
cos(3θ)=−
	361

	28√19
3θ1=π−arccos(		)
	361

	28√19
3θ2=3π−arccos(		)
	361

	28√19
3θ3=5π−arccos(		)
	361

	2√19		1		28√19
y1=		cos(		(π−arccos(		)))
	3		3		361

	2√19		1		28√19
y2=		cos(		(3π−arccos(		)))
	3		3		361

	2√19		1		28√19
y3=		cos(		(5π−arccos(		)))
	3		3		361

	2		2√19		1		28√19
x1−		=		cos(		(π−arccos(		)))
	3		3		3		361

	2		2√19		1		28√19
x2−		=		cos(		(3π−arccos(		)))
	3		3		3		361

	2		2√19		1		28√19
x3−		=		cos(		(5π−arccos(		)))
	3		3		3		361

	2√19		1		28√19		2
x1=		cos(		(π−arccos(		)))+
	3		3		361		3

	2√19		1		28√19		2
x2=		cos(		(3π−arccos(		)))+
	3		3		361		3

	2√19		1		28√19		2
x3=		cos(		(5π−arccos(		)))+
	3		3		361		3

gdzie arccos(x) to funkcja odwrotna do funkcji cos(x)

ABC: na pierwszy rzut oka trudno dociec który z tych pierwiastków jest równy −2, który 1 a który 3 . Ponadto jeśli ktoś weźmie tablice matematyczne zbyt małej dokładności może otrzymać na przykład −1,997 zamiast −2 . Mam w domu książkę z lat 1960 gdzie gość liczył Cardano na suwaku logarytmicznym podobne równanie x³−7x+6=0 i takie błędy miał a nawet większe

Mariusz: ABC no zależy też ile obliczeń wykonuje na papierze a ile z użyciem tablic małej dokładności np dodawanie,odejmowanie, mnożenie, dzielenie i wyciąganie pierwiastka kwadratowego można wykonać stosunkowo łatwo sposobem pisemnym (Ja analizując sposób pisemny wyciągania pierwiastka kwadratowego samodzielnie znalazłem sposób pisemny wyciągania pierwiastka trzeciego stopnia) Ciekawe też czemu Fontana się poddał , jego metoda działała też na równania czwartego stopnia