Dla chętnych maturzystów Saizou : Jeśli ktoś z maturzystów jest chętny, to zapraszam Zad. 1 Przekątne trapezu ABCD przecinają się w punkcie M. Wysokość trapezu ma długość 18. Pole trójkąta ABM jest równe 25, pole trójkąta CDM jest równe 16. Oblicz pole trapezu.

wredulus_pospolitus: A myślałem że Saizou na solówkę zaprasza maturzystów

Saizou : Jestem smutny, bo nie działa mi logowanie . Jakiś skrypt mnie nie przepuszcza na Safari. (śmieszne bo tylko na MacBooku, a na Ipadzie normalnie idzie). I robię za czarną oFcę

anonim123: Czy to można policzyć z podobieństw pól trójkątów?

Saizou : można

f123: 81

Saizou : fil

Saizou : To jeszcze obliczenia Zadanie 2 Wysokość H prawidłowego ostrosłupa sześciokątnego jest dwa razy większa niż długość a krawędzie jego podstawy. Oblicz cosinus kąta zawartego między sąsiednimi ścianami bocznymi tego ostrosłupa.

Shizzer: Ja to zrobiłem z podobieństw pól trójkątów, a mając podobieństwo pól miałem też podobieństwo wysokości tychże trójkątów. Z tego już łatwo obliczyć długości podstaw trapezu mając podane pola trójkątów i wysokość trapezu. Da się jakoś inaczej do tego podejść?

Saizou : Shizzer taka metoda jest najprostsza

salamandra: P_trapezu=(√P_ABM+√P_CDM)²=(√25+√16)²=81

Saizou : salamandara nauka Ety nie poszła w las

f123:

	11
cosα = −
	19

f123: Zad 2 Pole jednego trojkata:

	a√3
htrojkata2 = (		)2 + (2a)2
	2

	1		a2√19
P =		* a * htrojkata =
	2		4

Dlugosc krawedzi ostroslupa: d² = a² + (2a)² d = a√5 Obliczam 'x':

	1		a2√19
a√5 * x *		=
	2		4

	a√95
x =
	10

Tw cosinusow dla trojkata zaznaczonego kolorem czerwonym:

	a√95		a√95		a√95
(a√3) 2 = (		)2 + (		)2 − 2 * (		)2 * cosα
	10		10		10

	11
cosα = −
	19

f123:

Saizou : Tak lepiej z tym rysunkiem

Saizou : Zadanie 3 Sprawdź tożsamość:

sinx		1   cos( x)   2		1   sin( x)   2
	•		=
1+cosx		1   1+cos( x)   2		1   1+cos( x)   2

salamandra:

	sinx		1   cos( x)   2
L=		*		=
	1+cosx		1   1+cos( x)   2

	1   1   2sin( x)*cos( x)   2   2		1   cos( x)   2
=		*		=
	1   1+2cos2( x)−1   2		1   1+cos( x)   2

	1   sin( x)   2
=
	1   1+cos( x)   2

L=P

Saizou : + założenia Salamandra Zadanie 4 Dany jest ciąg o wyrazie ogólnym a_n=√n²+2n−√n²−2n. Wykaż, że a_n > 2 dla dowolnej liczby naturalnej n>1.

Szkolniak:

	1
x=2α ⇒		x=α
	2

	sinx
wtedy: P=
	1+cosx

	sin2x*cosx		2cos2x*sinx
L=		=		=
	(1+cos2a)(1+cosa)		cosx+2cos2x+cos2x*cosx

	2cosx*sinx		sinx
=		=		=P, cnw.
	1+2cosx+cos2x		1+cosx

Saizou : Szkolniak ładnie, sztuczka żeby wyeliminować kąty ułamkowe zawsze pomaga

f123:

	sinx		1   cos( x)   2
L =		*
	1 + cosx		1   1 + cos( x)   2

	1   1   2sin( x)cos( x)   2   2		1   cos( x)   2
L =		*
	1   1 + cos(2 * x)   2		1   1 + cos( x)   2

	1   1   2sin( x)cos( x)   2   2		1   cos( x)   2
L =		*
	1   2cos2( x)   2		1   1 + cos( x)   2

	1   sin( x)   2
L =
	1   1 + cos( x)   2

L == P

Szkolniak: ad zad4: Podnosimy po prostu do kwadratu i wychodzi, ze 2n²+1>0?

Saizou : Szkolniak nie, jak podniosłeś do kwadratu?

Szkolniak: Czyli jednak nie mogę tak zrobić.. A gdybym zbadał funkcję f(x)=√x²+2x−√x²−2x? Granica w +∞, rozwiązanie równania f(x)=2 (sprzeczne: 2x²+1=0), wartość funkcji w punkcie x=2? Taki dowód by oddawał to co mamy wykazać w 100%?

f123: √n² + 2n − √n² − 2n > 2 |² n² + 2n − 2√n⁴ − 4n² + n² − 2n > 4 2(n² − 2) > 2n√n² − 4 |² n⁴ − 4n² + 4 > n⁴ − 4n² 4 > 0 c.n.u

Saizou : Możesz podnieść do kwadratu, ale czy dobrze to zrobiłeś? można tak a_n=√n²+2n−√n²−2n=

	(√n2+2n−√n2−2n)(√n2+2n+√n2−2n)
=		=
	√n2+2n+√n2−2n

4n		4n
	≥		=
√n2+2n+√n2−2n		√n2+2n+1+√n2−2n+1

4n
	=2
n+1+n−1

Szkolniak: z rozpędu dwójki z prawej nie podniosłem do kwadratu

Saizou :

Saizou : Zadanie 5 Wykaż, że jeżeli funkcja kwadratowa f(x)=x²+bx+c ma miejsce zerowe,

	1		1
to funkcja kwadratowa określona wzorem g(x)=x2+(m−		)bx+(m−		)2c,
	m		m

gdzie m≠0, również ma miejsce zerowe.

Szkolniak: f(x)=x²+bx+c Δ=b²−4c≥0 (z treści zadania) Δ z g(x):

	1		1		1		1
Δ=(m−		)2b2−4c(m−		)2=(m−		)2(b2−4c)≥0, bo: b2−4c≥0 i (m−		)2≥0
	m		m		m		m

(każda liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu jest liczną nieujemną)

f123: f(x) − miejsce zerowe ====> Δ = 0 = b² − 4c g(x):

	1		1		1
Δg = (m −		2 * b2 − (m −		) * c = (m −		)2(b2 − 4c)
	m		m		2

b² − 4c = 0 − czyli funkcja g(x) ma miejsce zerowe, bo Δ_g = 0

Saizou : Szkolniak Zadanie 6 Odcinek o końcach A=(6,0) i C=(2,8) jest przekątną rombu ABCD. Pole tego rombu jest równe 40. Oblicz promień r okręgu wpisanego w ten romb i napisz równanie tego okręgu.

f123: (x − 4)² + (y − 4)² = 10, r = √10

Godzio: f123 jest ok

Igor: Wewnątrz trójkąta równoramiennego prostokątnego ABC, (CAB=90^o) wybrano punkt P tak ze AP=3, BP=4 oraz CP=5. Oblicz pole ABC. Kto pomoze?

Saizou : 9=x²+y² 16=(a−y)²+x² 25=(a−x)²+y² Stąd masz x oraz y w zależności od a. Z równania 9=x²+y² wyznaczysz a²

	1
P=		a2
	2

Igor: Powoli a skąd to 9=x²+y² ?

Saizou : ten prostokąt do góry, tam gdzie są 3, x, y

Igor: ok dziękś kapisz już