Zadania z optymalizacji hockiklocki: Witam. Potrzebuję pomocy z dwoma zadaniami optymalizacyjnymi. 1. Oblicz jakie jest najmniejsze pole trójkąta prostokątnego, którego połowa obwodu jest równa p. 2. Oblicz, który z trójkątów prostokątnych o danym polu P ma najmniejszy obwód.

wredulus_pospolitus: A z czym KONKRETNIE masz problem w tych zadaniach Rysunki wykonane

PW: Wskazówka Pole trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych x i x+a (x>0, a≥0) jest równe

	1
P(x) =		x(x+a).
	2

Znalezienie minimum funkcji P jest proste − to funkcja kwadratowa. Przyprostokątne szukanego kwadratu zależą od a. Trzeba to na koniec skojarzyć z połową obwodu p.

hockiklocki: Nie wiem wgl od czego w sumie zacząć. Próbowałem na razie myśleć od czego trzeba zacząć i nie dałem rady. Chciałbym aby ktoś mi wytłumaczył jak te zadania należy rozwiązać.

hockiklocki: PW nie rozumiem jak ja mam skojarzyć to z połowa obwodu i jak znaleźć minimum skoro pochodna zależy od a, którego i tak nie znam. Mógłbyś mi to wyjaśnić?

PW: Narysuj wykres funkcji P(x) dla jakiegokolwiek dodatniego 'a' w dziedzinie D = {x∊R: x > 0}, a zobaczysz, że nie osiąga ona minimum, a więc zadanie nie ma rozwiązania − nie ma co kojarzyć z p.

hockiklocki: Odpowiedzią do zadania 1 jest (3−2√2)p², więc ma rozwiązanie

ite: Jest dokładnie tak jak napisał PW, rozwiązanie nie istnieje. A odpowiedź, którą podajesz, jest do innego zadania: podaj największe pole trójkąta prostokątnego, którego połowa obwodu jest równa p.

hockiklocki: Z tym że odpowiedź do zadania 2 nie istnieje też się nie zgodzę. Odpowiedź jest taka, że najmniejszy o obwód ma trójkąt równoramienny o przyprostokątnych równych √2P.

ite: Nikt nie pisał nic o zadaniu 2/. Dostałeś wyjaśnienia do zad.1/.

hockiklocki: Mój błąd, rozumiem. Miało być najwięcej pole

hockiklocki: Największe*

Eta: No to tak a,b,c=√a²+b² >0 a+b+√a²+b²= 2p a²+b²≥2ab −−− równość zachodzi dla a=b √a²+b² ≥√2ab = √2*√ab i a+b ≥2ab zatem: 2p=a+b+√a²+b² ≥ √2ab+√2√ab 2p≥(√2+2)√ab /² 4p²= (6+4√2) ab /:4

	ab		p2
		=P =
	2		3+2√2

Najmniejsze pole P= p²(3−2√2) ============

Eta: Miało być: Największe pole bo (√2+2)√ab≤2p |² itd.........

ciostek: Czy ktoś dałby radę wytłumaczyć o co chodzi tutaj: a2+b2≥2ab i tutaj: a+b ≥2ab

ciostek: ale w jaki sposób a+b≥2ab?

Eta: Tam mam chochlika a+b≥ 2√ab bo (√a−√b)²≥0 to a+b −2√ab≥0 ⇒ a+b≥2√ab popraw

ciostek: ok już rozumiem. Dzięki wielkie

Eta: (a−b)²≥0 ⇔ a²−2ab+b²≥0 ⇔ a²+b²≥2ab i a2+b²≥ 2ab ⇒ p{a²+b²≥ √2ab = √2*√ab poprawiam zapis od słowa zatem : 2p=a+b+√a²+b²≥ 2√ab+√2*√ab i dalej już jest dobrze Dobrze,że pytasz

ciostek: 2p≥(√2+2)√ab /2 4p2= (6+4√2) ab /:4 A co stało się z tą nierównością?

Eta: 4p²≥(6+4√2)ab /:4

	ab		p2
		=P ≤
	2		3+2√2

zatem największe pole

	p2
P=		= p2(3−2√2)
	3+2√2

Te pomyłki pojawiły się dlatego,że w międzyczasie doglądałam ciasta w piekarniku

ciostek: Zaczaiłem już jak wysłałem wiadomość. Dzięki za pomoc

kyrtap: Eta co za ciasto pieczesz?

Eta: Sernik

hockiklocki: Dziękuję bardzo Eta, teraz to jest wszystko jasne. A czy oprócz słownego wytłumaczenia w zadaniu 2 jest jakieś inne ciekawsze rozwiązanie?