Rozwiązanie analityczne równania różnicowego Karola: Znajdź rozwiązanie analityczne równania różnicowego y_x+2 − 5y_x+1 + 4y_x = 2 y₀ = 5 y₁ = 6

Karola: .

Leszek: Jest to rownanie roznicowe liniowe niejednorodne drugiego rzedu Najpierw rozwiazujesz rownanie jednorodne , jego rozwiazanie w postaci ogolnej y_n = t ⁿ Czyli t² −5t +4 = 0 ⇒ Δ_t = 9 ⇒ t₁ = 1 , t₂= 4 Zatem : y_x = A + B4^x

Mariusz: Y(t)=∑_x=0^∞y_xt^x ∑_x=0^∞y_x+2t^x+2+∑_x=0^∞(−5)y_x+1t^x+2+∑_x=0^∞4y_xt^x+2= ∑_x=0^∞2t^x+2 ∑_x=0^∞y_x+2t^x+2−5t(∑_x=0^∞y_x+1t^x+1)+4t²(∑_x=0^∞yx

	2t2
tx)=
	1−t

	2t2
∑x=0∞yxtx−5−6t−5t(∑x=0∞yxtx−5)+4t2(∑x=0∞yxtx)=
	1−t

	2t2
∑x=0∞yxtx−5t(∑x=0∞yxtx)+4t2(∑x=0∞yxtx)−5+19t=
	1−t

	2t2
∑x=0∞yxtx−5t(∑x=0∞yxtx)+4t2(∑x=0∞yxtx)=5−19t+
	1−t

	(5−19t)(1−t)+2t2
Y(t)(1−5t+4t2)=
	(1−t)

	5−24t+21t2
Y(t)(1−t)(1−4t)=
	(1−t)

	5−24t+21t2
Y(t)=
	(1−t)2(1−4t)

5−24t+21t2		A		B		C
	=		+		+
(1−t)2(1−4t)		1−t		(1−t)2		1−4t

A(1−t)(1−4t)+B(1−4t)+C(1−t)²=5−24t+21t² A(1−5t+4t²)+B(1−4t)+C(1−2t+t²)=5−24t+21t² A+B+C=5 −5A−4B−2C=−24 4A+C=21 1 1 1 | 1 0 0 −5 −4 −2 | 0 1 0 4 0 1 | 0 0 1 1 1 1 | 1 0 0 3 −4 0 | 0 1 2 4 0 1 | 0 0 1 −3 1 0 | 1 0 −1 3 −4 0 | 0 1 2 4 0 1 | 0 0 1 −12 4 0 | 4 0 −4 3 −4 0 | 0 1 2 4 0 1 | 0 0 1 −9 0 0 | 4 1 −2 3 −4 0 | 0 1 2 4 0 1 | 0 0 1 −9 0 0 | 4 1 −2 9 −12 0 | 0 3 6 4 0 1 | 0 0 1 −9 0 0 | 4 1 −2 0 −12 0 | 4 4 4 4 0 1 | 0 0 1 −9 0 0 | 4 1 −2 0 3 0 | −1 −1 −1 4 0 1 | 0 0 1 −9 0 0 | 4 1 −2 0 3 0 | −1 −1 −1 36 0 9 | 0 0 9 −9 0 0 | 4 1 −2 0 3 0 | −1 −1 −1 0 0 9 | 16 4 1 9 0 0 | −4 −1 2 0 9 0 | −3 −3 −3 0 0 9 | 16 4 1

	4		1		2
A=−		*5−		*(−24)+		*(21)
	9		9		9

	3		3		3
B=−		*5−		*(−24)−		*(21)
	9		9		9

	16		4		1
C=		*5+		*(−24)+		*(21)
	9		9		9

	46
A=
	9

	6
B=−
	9

	5
C=
	9

5−24t+21t2		46	1		6	1		5	1
	=			−			+
(1−t)2(1−4t)		9	1−t		9	(1−t)2		9	1−4t

1
	=(∑x=0∞tx)
1−t

d		1		d
	(		)=		(∑x=0∞tx)
dt		1−t		dt

−1
	(−1)=∑x=0∞xtx−1
(1−t)2

1
	=∑x=1∞xtx−1
(1−t)2

1
	=∑x=0∞(x+1)tx
(1−t)2

	46		6		5
Y(x)=		(∑x=0∞tx)−		(∑x=0∞(x+1)tx)+		(∑x=0∞4xtx)
	9		9		9

	6		40
−		x+
	9		9

	2
−		(3x−20)
	9

	2		5
Y(x)=∑x=0∞[−		(3x−20)+		4x]tx
	9		9

	2		5
y(x)=−		(3x−20)+		4x
	9		9

Podobnym pomysłem na rozwiązanie będzie użycie przekształcenia Z

Leszek: Kolega @Mariusz jest tytanem pracy , chwala mu za to , ja daje tylko szkic rozwiazania !