Suma ciągu geometrycznego zmartwiony_uczeń: Ciąg geometryczny an spełnia następujące równanie rekurencyjne: a₁=7, a_n+2=1/6a_n+1+1/3a_n dla n∈{1,2,3,...}. Wyznacz sumę wszystkich wyrazów ciągu (a_n). Mam rozwiązanie do tego zadania: 7, 7q, 7q² ... a₃ = 1/6a₂ + 1/3a₁ 7q² = 1/6 * 7q + 1/3 * 7 //:7 q²= 1/6q + 1/3 //*6 6q² − q + 2 = 0 Δ = 49 q₁ = 2/3 q₂ = −1/2 No i teraz część, której nie rozumiem. Skąd jakaś zależność, że q w wartości bezwględnej musi być < 1? a skoro już jest (w obu przypadkach), to dlaczego sumę tego ciągu obliczamy za pomoca S = a₁ / 1 − q Przecież ten ciąg, przy wszystkich liczbach naturalnych będzie nieskończenie wielki, a tu wyjdą jakieś bardzo małe liczby (dokładnie 21 i 14/3)

wmboczek: nieskończenie wielka jest ilość liczb, ale są to małe liczby jeśli zostaną zachowane odpowiednie proporcje, to suma jest skończona na tym polega zbieżność takich ciągów

zmartwiony_uczeń: Ok, jestem w stanie to przetrawić. Mógłbyś podlinkować albo wskazać miejsce w tablicach maturalnych, gdzie jest wyjaśnione, że można policzyć sumę tylko dla |q| < 1? W tablicach jest tylko inny wzór na sumę dla q = 1 lub q≠1

Mila:

	a1
Dla |q|<1 możesz obliczyć sumę szeregu geometrycznego z wzoru S=
	1−q

Dla |q|≥1 możesz obliczyć sumę n wyrazów z wzoru

	1−qn
Sn=a1*
	1−q

Jeżeli |q|< 1 to

	1−qn		a1
limn→∞(a1*		)=
	1−q		1−q

bo qⁿ→0

Szkolniak: Strona 11 w tablicach maturalnych − dział ''granica ciągu''

Mariusz: Na upartego możesz w ten sposób nawet rozwiązywać równania rekurencyjne jednak wg mnie wygodniejsze są funkcje tworzące (tutaj zwykła funkcja tworząca) A(x)=∑_n=0^∞a_nxⁿ

	1		1
∑n=0∞an+2xn+2=∑n=0∞		an+1xn+2+∑n=0∞(		)anxn+2
	6		3

	1		1
∑n=0∞an+2xn+2=		x(∑n=0∞		an+1xn+1)
	6		6

	1
+		x2(∑n=0∞anxn)
	3

	1		1
∑n=0∞anxn−a0−7x=		x(∑n=0∞		anxn−a0)
	6		6

	1
+		x2(∑n=0∞anxn)
	3

	1		1		1
A(x)−a0−7x=		xA(x)−		a0x+		x2A(x)
	6		6		3

	1		1		1
A(x)(1−		x−		x2)=a0+(7−		a0)x
	6		3		6

	1   a0+(7− a0)x   6
A(x)=
	1   1   1− x− x2   6   3

	1   a0+(7− a0)x   6
A(x)=
	1   49   (1− x)2− x2   12   144

	1   a0+(7− a0)x   6
A(x)=
	1−7   1+7   (1− x)(1− x)   12   12

	1   a0+(7− a0)x   6
A(x)=
	1   2   (1+ x)(1− x)   2   3

1   a0+(7− a0)x   6		A		B
	=		+
1   2   (1+ x)(1− x)   2   3		1   1+ x   2		2   1− x   3

	2		1		1
A(1−		x)+B(1+		x)=a0+(7−		a0)x
	3		2		6

A+B=a₀

	2		1		1
−		A+		B=7−		a0
	3		2		6

B=a₀−A

	2		1		1
−		A+		(a0−A)=7−		a0
	3		2		6

	7		1		1
−		A+		a0=7−		a0
	6		2		6

	7		4
−		A=7−		a0
	6		6

	4
A=−6+		a0
	7

	4
B=a0−(−6+		a0)
	7

	4
A=−6+		a0
	7

	3
B=6+		a0
	7

1   a0+(7− a0)x   6		A		B
	=		+
1   2   (1+ x)(1− x)   2   3		1   1+ x   2		2   1− x   3

	4		1
A(x)=(−6+		a0)(∑n=0∞(−		)nxn)
	7		2

	3		2
+(6+		a0)(∑n=0∞(		)nxn)
	7		3

	4		1		3		2
A(x)=∑n=0∞[(−6+		a0)(−		)n+(6+		a0)(		)n]xn
	7		2		7		3

	4		1		3		2
an=(−6+		a0)(−		)n+(6+		a0)(		)n
	7		2		7		3

Mając wzór jawny ciągu zadanego rekurencyjnie możesz też znaleźć ciągi geometryczne spełniające równanie rekurencyjne Dlaczego funkcja tworząca lepiej sprawdzi się podczas rozwiązywania równań rekurencyjnych 1. Widać skąd się bierze funkcja wykładnicza we wzorze ciągu w postaci jawnej 2. Wiadomo dlaczego tak a nie inaczej wygląda wzór dla wielokrotnych pierwiastków tzw równania charakterystycznego 3. Nie trzeba też zgadywać postaci rozwiązania szczególnego w równaniu niejednorodnym

ite: Mariusz to, co podajesz, to jest solidny kawałek wiedzy, ale po prostu czasu ani na klasówce ani na maturze mu nie starczy

zmartwiony_uczeń: Dziękuję wam wszystkim za pomoc. Jak zawsze niezawodni.