bijekcja, a ciaglosc kasia: Czy bijekcja i ciągłość są ze sobą jakoś powiązane?

wmboczek: musisz doprecyzować pytanie przekształcenie zbioru ciągłego bijekcją nie musi być zbiorem ciągłym jeśli bijekcja jest f. ciągłą to raczej przekształca zbiór ciągły w ciągły

kasia: Czy bijekcja może nie być funkcja ciągłą? (Myślę, że tak) I jeszcze jedno: przeciwobraz zb. otwartego funkcji ciągłej jest otwarty, tak? Ale odwrotnie nie, bo np. dla funkcji stałej nie zajdzie

Adamm: Bijekcja i ciągłość raczej nie mają ze sobą większego związku. @wmboczek co masz na myśli przez zbiór ciągły? @kasia "Czy bijekcja może nie być funkcja ciągłą?" Tak np.funkcja zdefiniowana jako f(x) = x dla x∊R\{1, 0}, f(1) = 0, f(0) = 1. (R z metryką Euklidesową) "przeciwobraz zb. otwartego funkcji ciągłej jest otwarty, tak?" Tak, jeśli U jest otwarty, a f jest ciągła, to f⁻¹(U) jest otwarty. Tu f:X→Y. f(U) w ogólności nie jest otwarty, podałaś dobre uzasadnienie, rozważając funkcje stałe mielibyśmy, że zbiory jednopunktowe są otwarte, ale wtedy Y byłaby przestrzenią dyskretną. To oczywiście przy założeniu, że istnieje co najmniej jeden niepusty zbiór otwarty. Jeśli taki zbiór nie istnieje, t. j. X = ∅, to twierdzenie również zachodzi, bo wtedy f(∅) = ∅ jest zbiorem otwartym. t. j. obraz dowolnego zbioru otwartego przez funkcję ciągłą jest otwarty, wtedy i tylko wtedy, gdy Y jest przestrzenią dyskretną lub X = ∅.