Jak Tommy: Jak rozumieć otwartość, domkniętość, ograniczoność i zwartość zbioru. Trochę tego nie rozumiem

jc: Tak, jak mówią definicje. Zbiór A jest otwarty ⇔ dla każdego P∊A, pewne otoczenie punktu P zawarte jest w A. Zbiór B jest domknięty ⇔ Dopełnienie B jest otwarte. Zbiór C jest zwarty ⇔ Z dowolnej rodziny zbiorów, których suma zawiera C można wybrać skończoną liczbę zbiorów, których suma zawiera C. Otoczeniem punktu P w przestrzeni metrycznej jest zbiór punktów, których odległość od P jest mniejsza od pewnego r>0. A zrozumiesz najlepiej pytając o konkretne przykłady.

Tommy:

	1
Jeden z przykładów wygląda tak: A={(x,y) ∊R2 y= sin (		), |x|≤1}
	x

WhiskeyTaster: A jaka metryka? Euklidesowa? Wydaje mi się, że w euklidesowej metryce owy zbiór będzie domknięty. Weźmy na przykład

	1		1
x =		< 1. Wówczas sin(		) = sin(π) = 0. Jeśli teraz wziąć dowolną kulę o środku w
	π		x

	1
x =		i dowolnie małym promieniu, to widzimy, że w owej kuli będziemy mieć elementy
	π

nienależące do zbioru A. Więc taka kula nie jest zawarta w A.

jc: Rozumiem, że x=0 wykluczmy. Zbiór jest ograniczony: mieści się w kwadracie [−1,1]² Zbiór nie jest otwarty. Weź choćby punkt (1,sin 1). Żadne otoczenie tego punktu nie zawiera się w zbiorze. Czy jest domknięty? Punkt (0,0) należy do dopełnienia A. W dowolnym otoczeniu (0,0) znajdziesz punkty z A. Zbiór nie jest więc domknięty. Czy jest zwarty? Pokrywamy A zbiorami B_k = {(x,y): x<−1/k lub x> 1/k} Suma takich zbiorów pokrywa A, ale jak zostawisz skończoną liczbę, zostanie Ci pionowy pas w którym znajdzie się coś z A. Zbiór nie jest zawarty.

Tommy: Ograniczoność rozumiem, gorzej dalej z resztą. Co rozumiemy przez otoczenie tego punktu nie zawiera się w zbiorze? Otwartość i domkniętość nie wykluczają się?

Adamm: @jc nie do końca poprawnie podałeś te definicje zbiór jest otwarty jeśli należy do topologii zbiór jest zwarty jeśli z dowolnego otwartego pokrycia można wybrać podpokrycie skończone otoczeniem punktu P nazywamy w zależności od konwencji 1. zbiór otwarty do którego należy P 2. dowolny zbiór, który zawiera zbiór otwarty to którego należy P W przestrzeni metrycznej zbiór należy do topologii wtedy i tylko wtedy gdy jest sumą otwartych kul B_r(y) = {y∊X : d(x, y) < r}.

Adamm: "Czy jest zwarty? Pokrywamy A zbiorami Bk = {(x,y): x<−1/k lub x> 1/k} Suma takich zbiorów pokrywa A, ale jak zostawisz skończoną liczbę, zostanie Ci pionowy pas w którym znajdzie się coś z A. Zbiór nie jest zawarty." Prościej, nie jest domknięty, więc nie jest zwarty. "Otwartość i domkniętość nie wykluczają się?" Nie. Np. zbiór pusty jest zawsze domknięty i otwarty.

WhiskeyTaster: Adamm, na początku kursu topologii, przynajmniej u mnie, definicja otwartości była taka jak podał jc. Wszystko dlatego, że pojęcie topologii zostało wprowadzone po jakichś dwóch tygodniach.

Adamm: Tylko że nikt raczej nie utożsamia kul otwartych z otoczeniem. Taka definicja jest niestandardowa.

Adamm: Dobra, może "niestandardowa" to złe słowo. Pewnie się utożsamia, jak się rozważa jedynie przestrzenie metryczne.