ABC:
można bez pochodnych różnymi sposobami , np przewidujesz rozkład
x
4+3x
3+6x
2+7x+3=(x
2+ax+b)(x
2+cx+d)
i masz nadzieję że współczynniki całkowite a,b ,c,d się znajdą
próbujesz ich w otrzymanym układzie równań i okazuje się że są dobre
Patryk: Ja wiem, że można to rozbić w ten sposób, ale pytam się czy moja metoda też była by uznana? Bo
czasami mam problem z rozłożeniem na czynniki takich równań i szukam alternatywnych rozwiązań
Mariusz:
ABC można i tak ale ja trochę takich wielomianów rozkładałem i wiem że
na ogół mniej liczenia będzie jeśli najpierw sprowadzi wielomian do postaci różnicy kwadratów
Mam na myśli to że rozkład który podałeś jest dość ogólny tyle że współczynniki
tych trójmianów na ogół nie będą liczbami całkowitymi
Jeszcze jedna uwaga jeśli nie wyrugujemy wyrazu z x
3 to
rozwiązując równanie metodą którą wskazałeś dostaniemy takie
równanie rozwiązujące szóstego stopnia w którym może być dość trudno
zauważyć podstawienie sprowadzające to równanie do równania trzeciego stopnia
ABC metoda którą wskazałeś będzie dobra gdy
1. Wyrugujemy wyraz z x
3
(tzw równanie rozwiązujące będzie łatwiejsze do rozwiązania)
2. Wyodrębnimy przypadek tzw równania dwukwadratowego
(unikniemy wtedy możliwości dzielenia przez zero)
x
4 + 3x
3 + 6x
2 +7x +3 ≥ 0
(x
4 + 3x
3) − (− 6x
2 − 7x − 3) ≥ 0
| | 9 | | 15 | |
(x4 + 3x3 + |
| x2) − (− |
| x2 − 7x − 3) ≥ 0 |
| | 4 | | 4 | |
| | 3 | | 15 | |
(x2 + |
| x)2 − (− |
| x2 − 7x − 3) ≥ 0 |
| | 2 | | 4 | |
| | 3 | | y | | 15 | | 3 | | y2 | |
(x2 + |
| x+ |
| )2 − ((y− |
| )x2+( |
| y − 7)x + |
| − 3) ≥ 0 |
| | 2 | | 2 | | 4 | | 2 | | 4 | |
| | y2 | | 15 | | 3 | |
4( |
| − 3)(y− |
| ) − ( |
| y − 7)2 = 0 |
| | 4 | | 4 | | 2 | |
| | 15 | | 3 | |
(y2 − 12)(y − |
| ) − ( |
| y − 7)2=0 |
| | 4 | | 2 | |
| | 15 | | 9 | |
y3 − |
| y2 − 12y + 45 − ( |
| y2 − 21y +49) = 0 |
| | 4 | | 4 | |
y
3 − 6y
2 + 9y − 4 = 0
Wiemy że jednym z pierwiastków jest y = 1 , więc możemy podzielić i poszukać następnych
(y = 1 da nam zespolone współczynniki)
albo
y
3 − 6y
2 + 9y − 4 = 0
(y − 2)
3 = y
3 − 6y
2 + 12y −8
(y − 2)
3−3(y − 2)=(y
3 − 6y
2 + 12y − 8) − 3(y − 2)
(y − 2)
3−3(y − 2)=y
3 − 6y
2 + 9y − 2
(y − 2)
3−3(y − 2) − 2 = y
3 − 6y
2 + 9y − 4
w = y − 2
w
3 − 3w − 2 = 0
w = u + v
(u+v)
3 − 3(u + v) − 2 = 0
u
3+3u
2v+3uv
2+v
3 − 3(u + v) − 2 = 0
u
3+v
3 +3(u+v)uv − 3(u + v) − 2 = 0
u
3+v
3 − 2 + 3(u+v)(uv − 1) = 0
u
3+v
3 − 2 = 0
3(u+v)(uv − 1) =0
u
3+v
3=2
3(u+v)(uv − 1) =0
u
3+v
3=2
uv − 1=0
u
3+v
3=2
uv = 1
u
3+v
3=2
u
3v
3 = 1
t
2 − 2t +1 =0
Tutaj użyłem wzorów Vieta do zapisania równania kwadratowego bo tak było mi wygodnie
ale równie dobrze można było zamiast tego ograniczyć się do wzorów skróconego mnożenia
w celu znalezienia u
3 oraz v
3
(t − 1)
2 = 0
Tutaj gdyby wyróżnik tego trójmianu kwadratowego był ujemny to mielibyśmy takie możliwości
Jeśli mieliśmy wprowadzone zespolone to proponowałbym kontynuować rozwiązywanie
tego równania kwadratowego
Jeśli nie mieliśmy wprowadzonych liczb zespolonych to proponowałbym
rozwiązać równanie trzeciego stopnia z użyciem trygonometrii
(trzeba by pomocniczo wyprowadzić sobie wzór na cosinus bądź sinus potrojonego kąta)
Rozwiązując równanie trzeciego z użyciem liczb zespolonych i tak ostatecznie dostaniemy
wynik wyrażony za pomocą funkcyj trygonometrycznych
u
3 = 1
v
3 = 1
w = 1+1
w = 2
w = y − 2
2 = y − 2
y = 4
| | 3 | | y | | 15 | | 3 | | y2 | |
(x2 + |
| x+ |
| )2 − ((y− |
| )x2+( |
| y − 7)x + |
| − 3) ≥ 0 |
| | 2 | | 2 | | 4 | | 2 | | 4 | |
| | 3 | | 1 | |
(x2 + |
| x + 2)2 − ( |
| x2 − x + 1) ≥ 0 |
| | 2 | | 4 | |
| | 3 | | 1 | |
(x2 + |
| x + 2)2 − ( |
| x − 1)2 ≥ 0 |
| | 2 | | 2 | |
| | 3 | | 1 | | 3 | | 1 | |
((x2 + |
| x + 2)−( |
| x − 1))((x2 + |
| x + 2)+( |
| x − 1)) ≥ 0 |
| | 2 | | 2 | | 2 | | 2 | |
(x
2 + x + 3)(x
2 + 2x +1) ≥ 0
(x
2 + x + 3)(x + 1)
2 ≥ 0
x
2 + x + 3
Δ = 1 − 4*1*3 < 0
więc
∀x∊ℛ (x
2 + x + 3)(x + 1)
2 ≥ 0
