Ciągi rekurencja Angelinade: Rozwiąż an{2 dla n=0, 9 dla n=1, −4a_n−1 − 3a_n−2 + ³⁵₁₆ • 4ⁿ dla n≥2

Mila:

	35
an=−4an−1−3an−2+		*4n
	16

a₀=2, a₁=9 1) Równanie charakterystyczne: x²+4x+3=0 x₁=−3,x₂=−1 2) Przewidywana postać rozwiązania: a_n⁽¹⁾=A*(−3)ⁿ+B*(−1)ⁿ a_n⁽²⁾=C*4ⁿ a_n=A*(−3)ⁿ+B*(−1)ⁿ+C*4ⁿ 2) Wyznaczamy wartość C

	35
C*4n=−4*C*4n−1−3*C*4n−2+		*4n
	16

	1		1		35
C*4n=−4*C*4n*		−3*C*4n*		+		*4n ?;4n
	4		16		16

C=1 3) a_n=A*(−3)ⁿ+B*(−1)ⁿ+4ⁿ Teraz wyznacz A i B z warunków początkowych

Mila: Tam ma być (/:4ⁿ ) zamiast ( ?;4ⁿ)

Mariusz: A(x)=∑_n=0^∞a_nxⁿ Rekurencja zachodzi dla n ≥ 2 więc zaczynasz sumowanie od n = 2 ∑_n=2^∞a_nxⁿ=∑_n=2^∞(−4)a_n−1xⁿ+∑_n=2^∞(−3)a_n−2xⁿ

	35
+∑n=2∞		4nxn
	16

∑_n=2^∞a_nxⁿ=−4x(∑_n=2^∞a_n−1xⁿ⁻¹)−3x²(∑_n=2^∞a_n−2xⁿ⁻²)

	35
+		∑n=2∞4nxn
	16

∑_n=2^∞a_nxⁿ=−4x(∑_n=1^∞a_nxⁿ)−3x²(∑_n=0^∞a_nxⁿ)

	35	16x2
+
	16	1−4x

∑_n=0^∞a_nxⁿ − 2 − 9x = −4x(∑_n=0^∞a_nxⁿ−2)−3x²(∑_n=0^∞a_nxⁿ)

	35x2
+
	1−4x

	35x2
A(x)−2 − 9x=−4xA(x)+8x−3x2A(x)+
	1−4x

	35x2
A(x)(1+4x+3x2)=2+17x+
	1−4x

	(2+17x)(1−4x)+35x2
A(x)(1+4x+3x2)=
	(1−4x)

	2−8x+17x−68x2+35x2
A(x)(1+x)(1+3x)=
	(1−4x)

	−33x2+9x+2
A(x)(1+x)(1+3x)=
	(1−4x)

	−33x2+9x+2
A(x)=
	(1+x)(1+3x)(1−4x)

−33x2+9x+2		A		B		C
	=		+		+
(1+x)(1+3x)(1−4x)		1+x		1+3x		1−4x

A(1+3x)(1−4x)+B(1+x)(1−4x)+C(1+x)(1+3x) A(1−x−12x²)+B(1−3x−4x²)+C(1+4x+3x²)=−33x²+9x+2 A+B+C=2 −A−3B+4C=9 −12A−4B+3C=−33 1 1 1 −1 −3 4 −12 −4 3 w₂−(−1)w₁ 1 1 1 0 −2 5 −12 −4 3 w₃−(−12)w₁ 1 1 1 0 −2 5 0 8 15 w₃−(−4)w₂ 1 1 1 0 −2 5 0 0 35 L= 1 0 0 −1 1 0 −12 −4 1 U= 1 1 1 0 −2 5 0 0 35 Ly=b y₁=2 −2+y₂=9 y₂=11 −24−44+y₃=−33 y₁=2 y₂=11 y₃=35 35x₃=35 , x₃=1 −2x₂+5=11 ,−2x₂=6,x₂=−3 x₁−3+1=2 , x₁=4

−33x2+9x+2		A		B		C
	=		+		+
(1+x)(1+3x)(1−4x)		1+x		1+3x		1−4x

−33x2+9x+2		4		3		1
	=		−		+
(1+x)(1+3x)(1−4x)		1+x		1+3x		1−4x

−33x2+9x+2
	=4(∑n=0∞(−1)nxn)−3(∑n=0∞(−3)nxn)
(1+x)(1+3x)(1−4x)

+∑_n=0^∞4ⁿxⁿ A(x)=∑_n=0^∞[4(−1)ⁿ−3(−3)ⁿ+4ⁿ]xⁿ a_n=4(−1)ⁿ−3(−3)ⁿ+4ⁿ