Jak rozwiązać równanie wielomianowe?
mietuski: Jaka jest rzeczywista liczba rozwiązań równania x4−3x2−3x=0
Nie mam pomysłu na rozwiązanie tego zadania, oprócz 0 nie mogę znaleźć żadnego innego
pierwiastka a po wpisaniu równania do kalkulatora graficznego wynika że pierwiastków powinno
być dwa gdzie drugi jest jakąś dziwną liczbą
11 kwi 16:18
ABC:
zbadaj funkcję x3−3x−3 i wyciągnij wnioski
11 kwi 16:27
piotr: funkcja f(x)=x3−3x−3 posiada dwa ekstrema o takim samym znaku (−), a więc ma jedno miejsce
zerowe.
11 kwi 16:40
mietuski: zupełnie nie pomyślałam o rozwiązaniu za pomocą pochodnej, dziękuję za pomoc
11 kwi 16:49
Mariusz:
Wystarczą wzory skróconego mnożenia
x
4−3x
2−3x=0
x(x
3−3x−3)=0
x
3−3x−3=0
Zacznijmy od wzoru na sześcian sumy
(u+v)
3=u
3+3u
2+3uv
2+v
3
Pogrupujmy wyrazy
(u+v)
3=u
3+v
3+3u
2+3uv
2
Tutaj zauważamy że z dwóch ostatnich wyrazów możemy wyciągnąć wspólny czynnik
(u+v)
3=u
3+v
3+3uv(u+v)
Przyjmujemy że x=u+v
Możemy teraz albo x=u+v wstawić do równania
albo zauważyć że wzór skróconego mnożenia ma tę samą postać co równanie które
chcemy rozwiązać i porównać współczynniki
(u+v)
3=u
3+v
3+3uv(u+v)
(u+v)
3−3uv(u+v)−(u
3+v
3)=0
oraz
x
3−3x−3=0
zatem
−3uv=−3
−(u
3+v
3)=−3
uv=1
u
3+v
3=3
(u
3+v
3)
2=(u
6+2u
3v
3+v
6)
(u
3−v
3)
2=(u
6−2u
3v
3+v
6)
(u
3−v
3)
2=(u
6+2u
3v
3+v
6)−4u
3v
3
(u
3−v
3)
2=(u
3+v
3)
2−4(uv)
3
(u
3−v
3)
2=9−4
(u
3−v
3)
2=5
Dodawanie i mnożenie są przemienne więc nie ma znaczenia czy
weźmiemy pierwiastek z plusem czy z minusem
u
3+v
3=3
u
3−v
3=
√5
2u
3=3+
√5
2v
3=3−
√5
8u
3=12+4
√5
8v
3=12−12
√5
Teraz jeszcze trzeba sprawdzić czy para (u,v) spełnia układ równań
uv=1
u
3+v
3=3
a szczególnie czy równanie
uv=1
jest spełnione
x=u+v
| | 1 | |
x= |
| (3√12+4√5+3√12−4√5) |
| | 2 | |
11 kwi 16:56
ICSP: x
3 − 3x −3 = 0
| | 9 | | 5 | |
Δ = (−1)3 + (3/2)2 = −1 + |
| = |
| > 0 − jedno rozwiązanie rzeczywiste. |
| | 4 | | 4 | |
11 kwi 17:02