grupa abelowa Ajsmen: Niech (X, ◦) będzie monoidem (e element neutralny działania ◦). Udowodnij, że jeśli dla dowolnego a ∈ X mamy równość a² = e, to X jest grupą abelową. Wiemy, że jest monoidem, więc pozostaje nam do udowodnienia tylko to, że jest przemienna, czyli dla dowolnego a,b z X zachodzi a◦b=b◦a. I nie mam pojęcia w jaki sposób ma mi pomóc a² = e nie wiem jak to zrobić.

ite: a◦a=e → dla kazdego elementu istnieje element odwrotny czyli jest to grupa dopiero teraz pozostaje do udowodnienia przemienność ?

Ajsmen: właśnie i tego nie do końca rozumiem. A czy skoro a◦a=e to działaniem ◦ jest mnożenie?

Ajsmen: Bo nie widzę tak jakby wskazówki. Nie wiem w jaki sposób a² = e ma mi pomóc z przemiennością.

ite: Nie mnożenie, ja po prostu zapisałam to działanie, wykorzystując informację: Niech (X, ◦) będzie monoidem. Zapisałam tak, żeby było widać, że każdy element jest sam dla siebie el.odwrotnym.

Ajsmen: ok, ale dalej nie rozumiem jak to się ma do udowodnienia przemienności :< . Skoro każdy element dla siebie jest elementem odwrotnym, to do Monoidu X należy tylko jeden element? Czy to w ogóle nie w tą stronę?

ABC: to jest klasyka gatunku a=a⁻¹ b=b¹ , ba=(ba)⁻¹ zatem: ab=a⁻¹b⁻¹=(ba)⁻¹=ba

Ajsmen: ok, a skąd wiedzieliśmy, że działanie ◦ to mnożenie? Bo z tego co rozumiem, dostaliśmy info, że a²=e, zatem a=a⁻¹. Zgoda. ale teraz wchodząc w przemienność pokazujemy, że a◦b = b◦a. Rozpatrzyłeś to względem mnożenia. Skąd tylko wiedzieliśmy, że ◦ to mnożonko? :<

ABC: ty umiesz myśleć abstrakcyjnie? żadne mnożonko tylko nie chce mi się serduszka pisać ani innego symbolu działania

Ajsmen: nie umiem :< ale dzięki za rozw.