trójkąt Kamil18: W trójkącie ABC kąty przy wierzchołkach A,B,C wyonoszą odpowiednio 45^o,75^o,60^. Niech D,E,F będą spodkami wysokości poprowadzonych odpowiednio z wierzchołków A,B,C do przeciwległych boków. Dodatkowo niech G,H,I będą odpowiednio spotkami wysokości poprowadzonych z A na EF, B na DF oraz z C na DE. Oblicz miarę kąta HGI. Nie mam odp

ciekawy:

Bogdan: Ortocentrum trójkąta ABC (punkt S) jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt DEF i jest punktem przecięcia dwusiecznych kątów wewnętrznych trójkąta DEF. |∡FES| = |∡SED| = x, |∡BSD| = |∡SDF| = y, |∡DFS| = |∡EFS| = z Na czworokątach: EBDS, DCFS, AESF można opisać okrąg, stąd |∡DSE| = 120^o, |∡DSF| = 105^o, |∡FSE| = 135^o, Po rozwiązaniu układu równań: ΔDSE: x + y + 120^o = 180^o ΔDSF: y + z + 105^o = 180^o, ΔFSE: x + z + 135^o = 180^o otrzymujemy: x = 15^o, y = 45^o, z = 30^o., trójkąt EDF jest prostokątny. Niech |EB| = c ⇒ |EC| = |AE| = c√3 W prostokątnych trójkątach: ΔAEG: |∡AEG| = 90^o − x = 75^o ΔBEI: |∡BEI| = 90^o − x = 75^o, zatem te trójkąty są podobne w skali k = √3, stąd |EI| = b ⇒ |EG| = c√3. Korzystając z twierdzenia cosinusów w trójkącie GEI, w którym |∡GEI| = 2x = 30^o, otrzymujemy |GI| = b, więc trójkąt GEI jest równoramienny i |∡EGI| = 30^o. Proszę kontynuować dalej samodzielnie. W tej figurze jest wiele ciekawych zależności.

Mila: Witaj Bogdanie, cieszę się , że włączyłeś się do rozwiązania tego zadania. Ja zaczęłam, ale utknęłąm, chciałam wszystko zrobić z sumy kątów w wielokątach. Napiszę I etap.

Bogdan: Dobry wieczór Mila, przez kilka dni zadanie czekało, co nieczęsto się tu zdarza

Mila: Kąty w trójkącie spodkowym EDF. 1) Miary kątów w odpowiednich trójkątach prostokątnych zapisane niebieskim kolorem. 2) Miary kątów wpisanych okrąg opisany na EBDS zapisane zielonym kolorem 3) S jest punktem przecięcia dwusiecznych kątów wewnętrznych ΔEDF stąd |∡E|=30^o, |∡D|=90^o, |∡F|=60^o 4) I na razie widzę dalej tak jak u Ciebie. Chcę dalej uniknąć rachunków. Dobranoc). Dalej będzie jutro.

Bogdan: Mila ?

Eta:

Bogdan:

	√6 − √2
No to jedziemy dalej. Przyda się przy rozwiązywaniu: sin15o =
	4

Szkic działań w kolejnych krokach: 1) Wykonując odpowiednie obliczenia stwierdzamy, że |GE| = |CH|, |∡GEC| = |∡ECH| = 15^o oraz że HG ∥ EC i czworokąt ECHG jest trapezem równoramiennym. 2) Ustalamy następnie, że trójkąty FKG i FSE są podobne, |∡FGK| = |∡FES| = 15^o = |∡FGH|. 3) Wiedząc, że |EGI|=30^o i |∡FGH| = 15^o otrzymujemy |∡HGI| = 135^o. To już koniec